小学几何/边边边全等定理

我们将要讨论的第一个全等定理是边边边定理。

边边边全等定理

给定两个三角形$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 使得它们的边相等，因此

1. 边 ${\overline {AB}}$ 等于 ${\overline {DE}}$。
   
   
   
   
2. 边 ${\overline {BC}}$ 等于 ${\overline {EF}}$。
   
   
   
   
3. 边 ${\overline {AC}}$ 等于 ${\overline {DF}}$。
   
   
   
   

那么这两个三角形全等，它们的角也相等。

证明方法

为了证明这个定理，我们需要一个新的公设。这个公设是，可以在平面上移动或翻转任何形状，而不会改变它。特别地，可以移动三角形而不改变它的边或角。请注意，这个公设在平面几何中是成立的，但在一般情况下不成立。如果考虑球体上的几何，这个公设就不再成立了。

给定这个公设，我们将展示如何将一个三角形移动到另一个三角形的位置，并表明它们重合。因此，这两个三角形是相等的。

构造

1. 复制线段 边 ${\overline {AB}}$ 到点 D。
2. 画圆 $\circ D,{\overline {AB}}$。
3. 圆 $\circ D,{\overline {AB}}$ 和 线段 ${\overline {DE}}$ 相交于点 E，因此我们有了 ${\overline {AB}}$ 的副本，使它与 ${\overline {DE}}$ 重合。
4. 构造一个三角形，以 ${\overline {DE}}$ 为底，${\overline {BC}}$，${\overline {AC}}$ 为边，顶点在顶点 F 的同一侧。把这个三角形称为三角形 $\triangle DEG$

断言

三角形 $\triangle DEF$ 和 $\triangle ABC$ 全等。

证明

1. 点 A 和 D 重合。
2. 点 B 和 E 重合。
3. 顶点 F 是 $\circ D,{\overline {DF}}$ 和 $\circ E,{\overline {EF}}$ 的交点。
4. 顶点 G 是 $\circ D,{\overline {AC}}$ 和 $\circ E,{\overline {BC}}$ 的交点。
5. 已知 ${\overline {DF}}$ 等于 ${\overline {AC}}$.
6. 已知 ${\overline {EF}}$ 等于 ${\overline {BC}}$.
7. 因此，$\circ D,{\overline {DF}}$ 等于 $\circ D,{\overline {AC}}$，并且 $\circ E,{\overline {EF}}$ 等于 $\circ E,{\overline {BC}}$。
8. 然而，不同圆心的圆在连接其圆心的线段一侧最多只有一个交点。
9. 因此，点 G 和 F 重合。
10. 两点之间只有一条直线，因此 ${\overline {EG}}$ 与 ${\overline {EF}}$ 重合，并且 ${\overline {GD}}$ 与 ${\overline {DF}}$ 重合。
11. 因此，$\triangle DEG$ 与 $\triangle DEF$ 重合，两者全等。
12. 根据公设，$\triangle DEG$ 和 $\triangle ABC$ 相等，因此全等。
13. 因此，$\triangle DEF$ 和 $\triangle ABC$ 全等。
14. 因此，$\angle ABC$ 等于 $\angle DEF$，$\angle BCA$ 等于 $\angle EFD$ 以及 $\angle CAB$ 等于 $\angle FDE$.

注意

边边边全等定理出现在欧几里得几何《原本》的第 I 卷，命题 8 中。这里的证明遵循了欧几里得最初证明的思路。在最初的证明中，欧几里得认为顶点 **F** 和 **G** 必须重合，但并没有说明为什么。我们使用了这样的假设：“不同圆心的圆在连接圆心的线段的一侧最多有一个交点”。这个假设在平面几何中是正确的，但不能从欧几里得最初的公理推导出来。由于欧几里得自己需要使用这样的假设，我们更倾向于给出一个更详细的证明，尽管多出了一个假设。