小学几何/分形
我们之前考虑的所有构造有一个共同点。这些构造在有限步数之后就结束了。当人们回忆起数学家实际上使用尺子和圆规来执行这些构造时，这个要求似乎是合理的。然而，当我们去除这个要求时，我们可以构造出新的有趣的几何形状。在本章中，我们将介绍其中的两个。注意，这些形状不属于欧几里得几何，而是在其发展多年后才被考虑。
要全面了解康托尔集，请参阅维基百科上的文章，本节内容以此为基础。康托尔集是由德国数学家格奥尔格·康托尔引入的。
康托尔集的定义是反复从线段中去除中间三分之一。从单位区间[0, 1]中去除中间三分之一开始，剩下[0, 1/3] ∪ [2/3, 1]。接下来，从所有剩余区间中去除“中间三分之一”。这个过程无限地进行下去。康托尔集包含区间[0, 1]中所有在该无限过程中任何步骤中都没有被去除的点。
由于康托尔集被定义为未被排除的点的集合，因此可以通过去除的总长度来找到单位区间中剩余的比例。这个总数是几何级数
因此，剩余的比例为1 – 1 = 0。或者，可以观察到每一步都保留了前一阶段长度的2/3，因此剩余的量为2/3 × 2/3 × 2/3 × ...，这是一个无限乘积，在极限情况下等于0。
从计算结果来看，似乎令人惊讶的是会剩下什么——毕竟，去除的区间的长度之和等于原始区间的长度。然而，仔细观察这个过程就会发现，一定会有东西留下，因为从每个区间中去除“中间三分之一”涉及到去除开集（不包含端点的集合）。因此，从原始区间[0, 1]中去除线段（1/3, 2/3）会留下点1/3和2/3。随后的步骤不会去除这些（或其他）端点，因为去除的区间始终位于剩余区间的内部。因此，我们确信康托尔集不是空的。
康托尔集是分形的原型。它是自相似的，因为它等于它自身的两个副本，如果每个副本缩小1/3倍并平移。
要全面了解科赫曲线，请参阅维基百科上的文章，本节内容以此为基础。
科赫曲线是最早被描述的分形曲线之一。它是在1904年由瑞典数学家海尔格·冯·科赫发表的。更著名的科赫雪花（或科赫星）与该曲线相同，只是它从等边三角形而不是线段开始。
可以想象，它是从一条线段开始，然后递归地改变每条线段，方法如下
- 将线段分成三段等长的线段。
- 画一个等边三角形，使其底边为第一步中中间的线段。
- 去除作为第二步中三角形底边的线段。
完成一次之后，结果应该是一个类似于大卫之星的形状。
当上述步骤反复执行时，科赫曲线是在极限情况下逼近的。
科赫曲线的长度是无限的，因为每当在图形的每条线段上执行上述步骤时，其长度就会增加三分之一。因此，第n步的长度将为(4/3)n。
科赫雪花的面积是初始三角形的8/5倍，因此无限的周长围成了有限的面积。