小学几何/无理数证明

在数学中，有理数是指可以写成两个整数之比的实数，即它具有以下形式

a/b 其中 a 和 b 是整数，且 b 不为零。无理数是指不能写成两个整数之比的数，即它不具有以下形式

a/b 。

无理数理论的历史

无理数的发现通常归功于毕达哥拉斯，更确切地说，是毕达哥拉斯学派的希帕索斯，他证明了${\sqrt {2}}$的无理数性（见下文证明）。据说希帕索斯在尝试将 2 的平方根表示为分数时发现了无理数。然而，毕达哥拉斯相信数字的绝对性，不能接受无理数的存在。他不能用逻辑来反驳它们的存在，但他自己的信念无法接受无理数的存在，因此他判处希帕索斯溺死。正如你所见，数学可能很危险。

2 的平方根的无理数性

在本节中，我们将尝试解释为什么${\sqrt {2}}$是无理数。无理数是一个花哨的词，指的是不能写成分数形式的数，分数的分子和分母都是整数。曾经有人认为所有数字都可以写成分数的形式。

在我们开始证明之前，我们应该先回顾一些熟悉的知识。首先，当我们写分数时，我们总是可以化简它们，使它们没有公因数。为了提醒自己，让我们考虑分数${\frac {15}{21}}$。由于 3 可以整除 15，3 也可以整除 21，因此我们可以使这个分数的分子和分母更小。在这个例子中，我们可以通过以下计算来观察这一点

${\frac {15}{21}}={\frac {3\cdot 5}{3\cdot 7}}={\frac {3}{3}}\cdot {\frac {5}{7}}=1\cdot {\frac {5}{7}}={\frac {5}{7}}$.

完全相同的计算可以让我们消除任何同时整除分子和分母的数字。假设我们有一个分数${\frac {p}{q}}$，并且存在一个数字 r 使得 r 可以整除 p，r 也可以整除 q。然后我们可以写成$p=r\cdot a$（就像我们写$15=3\cdot 5$一样）。我们也可以写成$q=r\cdot b$。然后计算看起来像

${\frac {p}{q}}={\frac {r\cdot a}{r\cdot b}}={\frac {r}{r}}\cdot {\frac {a}{b}}=1\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{b}}$.

因此，无论何时我们有一个分数，其中分子和分母是我们还不知道的数字（因此我们需要使用 p 和 q 之类的字母），我们可以假设我们已经消除了所有同时整除 p 和 q 的数字。

我们还需要记住关于偶数和奇数的知识。首先，每个偶数实际上都是 2 乘以某个更小的数字。如果你列出偶数，这一点很容易看出来

偶数	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	…
相同的偶数 作为 2·“某物”	2·1	2·2	2·3	2·4	2·5	2·6	2·7	2·8	2·9	2·10	…

最后，我们需要记住两个偶数的乘积仍然是偶数，两个奇数的乘积仍然是奇数。事实上，这只是我们熟悉的规则

• “偶数乘以偶数是偶数”
• “奇数乘以奇数是奇数”
• “偶数乘以奇数是偶数”

现在我们可以开始思考证明了。证明是一个“反证法”。对我们来说，这意味着我们将从假设 ${\sqrt {2}}$ 可以写成分数开始。我们将尝试调查并看看这对分数意味着什么，要注意的是每一步都遵循我们已知的真实事物从上一步推导出来。在最后一步，我们将自相矛盾。这意味着我们在某个地方犯了错误。由于我们对所有步骤都非常小心，所以唯一可能出现错误的地方是我们假设了 ${\sqrt {2}}$ 可以写成分数。

1. 假设 ${\sqrt {2}}$ 可以写成分数。这意味着 ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$。我们将假设这个分数是最简分数，因此没有数字可以同时除以*a*和*b*。具体来说，2 不能同时除以*a*和*b*。
2. 现在我们将等式两边都平方，也就是说我们写 $2=\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}$，这与 $2={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ 相同。
3. 通过将等式两边都乘以 $b^{2}$，可以得出 $a^{2}=2\cdot b^{2}$。
4. 因此 $a^{2}$ 是偶数，因为它等于 $2\cdot b^{2}$，它是偶数。
5. 如果 $a$ 是奇数，那么 $a^{2}=a\cdot a$ 将是奇数，因为“奇数乘以奇数等于奇数”。因此，可以得出 $a$ 必须是偶数。
6. 由于 $a$ 是偶数，并且所有偶数都是 2 乘以某个数，我们可以写成 $a=2\cdot k$，其中 $k$ 是某个整数。
7. 如果我们将 $2\cdot k$ 代入第 3 行方程式中的 $a$，我们得到 $(2\cdot k)^{2}=2\cdot b^{2}$。现在 $(2\cdot k)^{2}=(2\cdot k)\cdot (2\cdot k)=4\cdot k^{2}$。因此，$4\cdot k^{2}=2\cdot b^{2}$。
8. 因为 $2\cdot k^{2}$ 是偶数，那么 $b^{2}$ 也是偶数。正如我们在第 5 行中看到的 $a$ 一样，这意味着 *b* 是偶数。
9. 在第 5 行中，我们看到 $a$ 是偶数，因此 2 可以整除 $a$。在第 8 行中，我们看到 $b$ 是偶数，所以 2 可以整除 $b$。但在第 1 行中，我们说 2 不能同时整除 $a$ 和 $b$。这是一个矛盾。

由于我们发现了一个矛盾，因此第 1 行中的假设一定是错误的。也就是说，${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ 是错误的，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。所以我们不能将 ${\sqrt {2}}$ 写成分数。另一种说法是，${\sqrt {2}}$ 是无理数。