定义（阿贝尔群）:
设 G {\displaystyle G} 是一个群。我们称 G {\displaystyle G} 为阿贝尔群当且仅当对于所有 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} ，我们有 g h = h g {\displaystyle gh=hg} （其中我们用并置表示群运算）。
定义（循环群）:
循环群是一个由其单个元素生成的群，即 G = ⟨ g ⟩ {\displaystyle G=\langle g\rangle } 对于某个 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 。
命题（循环群是阿贝尔群）:
设 G {\displaystyle G} 是一个循环群。则 G {\displaystyle G} 是阿贝尔群。
证明：事实上，将任意两个元素 h , j ∈ G {\displaystyle h,j\in G} 写成 h = g n {\displaystyle h=g^{n}} ， j = g m {\displaystyle j=g^{m}} ，其中 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 使得 G = ⟨ g ⟩ {\displaystyle G=\langle g\rangle } 。那么 h g = g n g m = g m g n = g h {\displaystyle hg=g^{n}g^{m}=g^{m}g^{n}=gh} ，利用结合律。 ◻ {\displaystyle \Box }
