群论/陪集与拉格朗日定理

定义（左陪集）:

令 $G$ 为一个群，且 $H\leq G$ 为其子群，且 $g\in G$。则由 $g$ 表示的 $H$ 的 **左陪集** 为集合

$gH:=\{gh|h\in H\}$.

右陪集的定义类似

定义（右陪集）:

令 $G$ 为一个群，且 $H\leq G$ 为其子群，且 $g\in G$。则由 $g$ 表示的 $H$ 的 **右陪集** 为集合

$Hg:=\{hg|h\in H\}$.

对于这两种情况，我们都有以下命题

命题（属于同一个左陪集是一个等价关系）:

令 $G$ 为一个群，并在 $G$ 上定义一个 关系 为

$g\sim g':\Leftrightarrow \exists g''\in G:g\in g''H\wedge g'\in g''H$.

则 $\sim$ 是一个等价关系，我们也有公式

$g\sim g'\Leftrightarrow g\in g'H$.

证明： 首先，我们证明同一个陪集中的元素的另一种公式。如果 $g\in g''H$ 且 $g'\in g''H$，我们从后者方程中发现一个 $h\in H$ 使得 $g'=g''h$，因此 $g''=g'h^{-1}$，因此 $g\in g'h^{-1}H=g'H$，最后一个等式是因为 $H$ 是一个群，特别是对求逆封闭。另一方面，如果 $g\in g'H$，那么 $g=g'h$ 对于某个 $h\in H$，因此 $g'\in g'H$（因为单位元在 $H$ 中），然后 $g'\in g'H=gh^{-1}H=gH$。

因此，这两个关系的公式一致，剩下的就是检查我们是否在处理等价关系。实际上，假设$g\sim g'$ 和 $g'\sim g''$。那么存在 $h\in H$ 使得 $g=g'h$ 且 $h'\in H$ 使得 $g'=g''h'$。然后 $g=g''h'h$，所以 $g\in g''H$，即 $g\in g''H$，证明了传递性。自反性成立，因为单位元在 $H$ 中，对称性成立，因为 $g\in g'H$ 意味着 $g=g'h$，因此 $g'\in g'H=ghH=gH$。 $\Box$

类似地，我们有以下命题

命题（在同一个右陪集中是一个等价关系）:

令 $G$ 为一个群，并在 $G$ 上定义一个 关系 为

$g\sim 'g':\Leftrightarrow \exists g''\in G:g\in Hg''\wedge g'\in Hg''$.

则 $\sim$ 是一个等价关系，我们也有公式

$g\sim 'g'\Leftrightarrow g\in Hg'$.

证明： 考虑对偶群 $G^{o}$ 的 $G$。存在一个双射 $G\to G^{o}$，由 $g\mapsto g$ 给出，在此之下，属于 $H\leq G$ 的同一个右陪集的两个元素对应于属于 $H^{o}\leq G^{o}$ 的同一个 左 陪集的元素。但是，由后者定义的关系 被证明是一个等价关系。$\Box$

定义（指数）:

令 $G$ 为一个群，令 $H\leq G$ 为一个子群。则 $H$ 的 指数 定义为：

$[G:H]:=|\{gH|g\in G\}|$.

也就是说，指数恰好是左陪集的数量。

命题（拉格朗日定理）:

令 $G$ 为一个群，令 $H\leq G$ 为一个有限子群。则

$[G:H]=|G|/|H|$.

特别地，$H$ 的阶数整除 $G$ 的阶数。

证明： 我们已经看到属于同一个左陪集是一个等价关系，因此等价类划分了$G$。 此外，每个等价类（即陪集）都与$H$具有相同的基数，通过双射$H\to gH,h\mapsto gh$。 $\Box$

命题（右陪集数量等于左陪集数量）:

令$G$是一个群，$H\leq G$是一个子群。 那么$H$的右陪集的数量等于$H$的左陪集的数量。

证明： 根据拉格朗日定理，左陪集的数量等于$|G|/|H|$。 但是我们可以考虑对偶群$G^{o}$的$G$。 它的左陪集几乎完全是$G$的右陪集； 只是乘积的顺序颠倒了。 但特别地，$G^{o}$的左陪集的数量，根据拉格朗日定理等于$|G^{o}|/|H^{o}|=|G|/|H|$，等于$[G:H]$，这就是我们要证明的。 $\Box$

因此，我们也可以用符号$[G:H]$来表示右陪集的数量。

命题（度数公式）:

令$G$是一个群，令$L\leq H\leq G$。 那么

$[G:L]=[G:H][H:L]$.

Proof: We may partition $H$ into a family of left cosets $(h_{\lambda }L)_{\lambda \in \Lambda }$, where for all $\lambda \in \Lambda$ we have $h_{\lambda }\in H$. Moreover, $G$ may be partitioned into a family $(g_{\alpha }H)_{\alpha \in A}$ of left cosets of $H$. Then $(g_{\alpha }h_{\lambda }L)_{(\alpha ,\lambda )\in A\times \Lambda }$ is a family of left cosets of $L$ that partitions $G$ (since each element $j\in G$ is in one left coset $g_{\alpha }H$ of $H$, and then $g_{\alpha }^{-1}j\in H$ is in a unique coset $h_{\lambda }L$, and then $g_{\alpha }h_{\lambda }L$ is the unique coset in which $j$ is), and the cardinality of this family, which is $|A\times \Lambda |=|A||\Lambda |$, is the number of left cosets of $L$ in $G$. $\Box$

练习

1. 证明 $g\in g'H\Leftrightarrow gH=g'H$，从而建立另一个关于同一个陪集的等价关系的公式。
2. 用不使用索引表示法的方式，为右陪集制定拉格朗日定理。