群论/自由积与合并和

定义（简化词）:

设$S$ 是任何集合，并定义集合$S^{-1}$ 为集合 $S$ 元素的形式逆；也就是说，$S^{-1}:=\{s^{-1}|s\in S\}$，因此$S\cap S^{-1}=\emptyset$；例如，我们可以定义 $s^{-1}:=\{\emptyset ,s\}$。设 $\varepsilon$ 表示空元组。则$S$ 上的简化词是

1. 空元组$\varepsilon$，或
2. $S\cup S^{-1}$ 元素的有限元组$(r_{1},\ldots ,r_{n})$，使得当$r_{j-1},r_{j}$ 是两个相邻元素时，既没有$r_{j-1}\in S$ 和$r_{j-1}=r_{j}^{-1}$，也没有$r_{j-1}\in S^{-1}$ 和$r_{j-1}^{-1}=r_{j}$。

定义（空词）:

空元组$\varepsilon =()$ 也称为空词

命题（将元组简化为简化词）:

设 $S$ 为任意集合，并设 $S^{-1}$ 为形式逆元的集合。假设 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 是任何元组（不一定是最简字）。那么在有限步内，可以通过删除相邻元素 $r_{j-1},r_{j}$ 从 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 中得到一个最简字，使得 $r_{j-1}\in S$ 且 $r_{j-1}=r_{j}^{-1}$ 或 $r_{j-1}\in S^{-1}$ 且 $r_{j-1}^{-1}=r_{j}$.

证明： 这是直接的，因为元组 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 的长度是一个整数，每当删除与最简字定义相矛盾的相邻元素时，长度就会减少 2。重复进行这种消除，直到不再可能，从而在有限步内得到最简字。 $\Box$

注意，当 $n$ 为奇数时，以这种方式得到的最简字将不是空元组。否则，可能会得到空元组。

定义（自由群）:

设 $S$ 为任意集合。那么在 $S$ 上的自由群定义为群 $F\langle S\rangle$，其元素是在 $S$ 上的最简字，其群运算由先连接再进行 化简为最简字 给出。

命题（自由群是一个群）:

设 $S$ 为一个集合。那么 $F\langle S\rangle$ 是一个群。

证明： 空元组 $\varepsilon$ 作为单位元。 结合律成立，因为如果 $(r_{1},\ldots ,r_{n}),(t_{1},\ldots ,t_{m}),(u_{1},\ldots ,u_{k})$ 是三个简化词，则

最后，只要 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 是一个简化词，我们根据 $n$ 使用归纳法证明它有一个逆元。 当然空词有 实际上，假设 $r_{n}\in S$； 则 $(r_{1},\ldots ,r_{n})(r_{n}^{-1})=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})$，根据归纳假设，它有一个逆元 $(t_{1},\ldots ,t_{m})$，因此根据结合律，$(r_{n}^{-1})(t_{1},\ldots ,t_{m})$ 是 $(r_{1},\ldots ,r_{n})$ 的逆元。 $\Box$

习题

1. 证明当 $S$ 是一个集合使得 $|S|\geq 2$ 时，则 $F\langle S\rangle$ 不是一个阿贝尔群。