群论/带结构的群

定义（带结构的群）:

令 ${\mathcal {C}}$ 为一个具体范畴。那么带结构的群范畴是${\mathcal {C}}$ 的子范畴，定义如下

• 其对象是${\mathcal {C}}$ 中的对象 $G$，使得范畴乘积 $G\times G$ 存在（并且，在集合层面上，等于$G$ 自身集合论上的乘积，包括投影），并且其底层集合具有群结构，使得群律为${\mathcal {C}}$ 中的一个态射 $G\times G\to G$，并且求逆是一个态射$G\to G$ 在${\mathcal {C}}$ 中。
• 其态射是${\mathcal {C}}$ 中的态射 $f:G\to G'$，在集合层面上，也是群同态。

命题（在具有足够常数态射的范畴中，对于每个带结构的群，用元素乘法是一个底层具体范畴中的自同构）:

令 $G$ 为一个带结构的群，其额外结构由具体范畴${\mathcal {C}}$ 给出，使得每个常数态射$G\to G$ 是${\mathcal {C}}$ 的一个态射。此外，假设 $g\in G$。那么函数

$G\to G,h\mapsto gh$

是类别${\mathcal {C}}$中$G$的自同构。

证明：如果我们证明给定的函数是一个态射，我们就完成了证明，因为逆是由左乘$g^{-1}$给出的。

因此，考虑态射$G\to G\times G$，其第一个分量由与$g$相关的常数函数给出，其第二个分量由$G$上的恒等式给出：将其与群律的后合成产生定理陈述中的态射，因此它是${\mathcal {C}}$的态射。 $\Box$