群论/正规子群和诺特同构定理

定义（正规子群）:

设 $G$ 是一个群。一个子群 $H\leq G$ 被称为正规子群 当且仅当对于每个 $g\in G$ 我们有 $gH=Hg$.

命题（不相交的正规子群的元素可交换）:

设 $G$ 是一个群，设 $G_{1},G_{2}\trianglelefteq G$ 使得 $G_{1}\cap G_{2}=\{1\}$。那么 $[G_{1},G_{2}]=1$.

证明： 令 $a\in G_{1}$ 且 $b\in G_{2}$。由于 $G_{1}$ 是一个正规子群，$bG_{1}=G_{1}b$，所以存在 $\alpha \in G_{1}$ 使得 $ab=b\alpha$。类似地，由于 $G_{2}\trianglelefteq G$，存在 $\beta \in G_{2}$ 使得 $b\alpha =\alpha \beta$。那么 $ab=\alpha \beta$，因此 $\alpha ^{-1}a=\beta b^{-1}$，并且由于 $G_{1}\cap G_{2}=\{1\}$，我们得到 $\alpha =a$，使得 $ab=ba$，并且由于 $a\in G_{1}$ 且 $b\in G_{2}$ 是任意的，$[G_{1},G_{2}]=1$。 $\Box$

命题（群内直积的刻画）:

令 $G$ 为一个群，并令 $G_{1},\ldots ,G_{n}\leq G$ 为 $G$ 的子群。考虑由这些子群生成的群 $H:=\langle G_{1},\ldots ,G_{n}\rangle$ 。以下等价

1. 函数 $\Phi :G_{1}\times \cdots \times G_{n}\to H,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto g_{1}\cdots g_{n}$ 是一个同构
2. 对于 $j\in [n]$ ，我们有 $G_{j}\trianglelefteq G$ 且 $G_{j}\cap \langle G_{1},\ldots ,G_{j-1},G_{j+1},\ldots ,G_{n}\rangle =\{1\}$
3. $H$ 中的每个元素都可以唯一地写成乘积 $g_{1}g_{2}\cdots g_{n}$ ，其中对于 $j\in [n]$ ，我们有 $g_{j}\in G_{j}$

Proof: Certainly 1. $\Rightarrow$ 2., since for all $j\in [n]$, the subgroup $G_{j}$ of $G$ corresponds via $\Phi$ to the subgroup $\{(g_{k})_{1\leq k\leq n}|\forall k\in [n]:k\neq j\Rightarrow g_{k}=1\}$, which is certainly normal. For 2. $\Rightarrow$3., observe that any element of $H$ may be written as a product $g_{1}g_{2}\cdots g_{m}$, where $m\in \mathbb {N}$ and each $g_{j}$ is an element of some $G_{j}$. But by 2., the $G_{j}$ are pairwise disjoint, so that any elements in distinct $G_{j}$ commute. Hence, we may sort the product $g_{1}g_{2}\cdots g_{m}$ so that the first few entries are in $G_{1}$, the following entries are in $G_{2}$ and so on. The products of the entries that are contained within $G_{j}$ then form the element as required by the decomposition in 3. Finally, for 3. $\Rightarrow$ 1., observe that 3. implies that the given function is bijective. But it is also a homomorphism, because 3. immediately implies that the $G_{j}$ are disjoint, and we may use that elements of disjoint normal subgroups commute to obtain that $\Phi$ indeed commutes with the respective group laws. $\Box$

定义（子群乘积）:

令 $G$ 为一个群，并令 $L,H\leq G$ 为子群。那么 $L$ 和 $H$ 的 **子群乘积** 定义为

$LH:=\{lh|l\in L,h\in H\}$.

通常情况下，子群乘积不是一个子群。但是，如果乘积中涉及的其中一个子群是正规子群，那么它就是

命题（子群与正规子群的子群乘积是子群）:

设 $G$ 为一个群，设 $L,H\leq G$ 为子群，其中 $L,H$ 之一为正规子群。那么 $LH$ 和 $HL$ 都是 $G$ 的子群。

证明：不失一般性，假设 $L$ 为正规子群。设 $lh,jg\in LH$，其中 $l,j\in L$ 且 $h,g\in H$。那么

$lh(jg)^{-1}=lj'hg^{-1}\in LH$

对于某个 $j'\in L$，因为 $L$ 为正规子群（这里我们应用了 子群判别准则）。类似地，$HL$ 是一个子群。 $\Box$

命题（正规子群的乘积是正规的）:

设 $G$ 为一个群，设 $L,H\triangleleft G$ 为 $G$ 的正规子群。那么 $LH\triangleleft G$，即 $LH$ 是 $G$ 的正规子群，且对于 $HL$ 亦然。

证明： 由于对称性，只需证明 $LH$ 是一个正规子群。事实上，设 $g\in G$ 以及 $lh\in LH$，其中 $l\in L$ 以及 $h\in H$。那么

$g^{-1}lhg=g^{-1}lgh'=g^{-1}l'h'=l'h'$

对于某些 $l'\in L$，$h'\in H$，因为 $L,H$ 是正规的。 $\Box$

练习

1. 证明正规子群的交集也是正规的。
2. 设 $G$ 是一个群，并且设 $H_{1},\ldots ,H_{n}\trianglelefteq G$ 这样 $[G:H_{1}],\ldots ,[G:H_{n}]$ 是两两互素的。证明 $G/(H_{1}\cap \cdots \cap H_{n})\cong G/H_{1}\times \cdots \times G/H_{n}$。