群论/表示

定义（表示）:

令 $G$ 为一个群，${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，$A$ 为 ${\mathcal {C}}$ 中的一个对象。那么 $G$ 在 $A$ 上的表示（也称为作用）是 ${\mathcal {C}}$ 的自同构群的一个群同态

$G\to \operatorname {Aut} (A)$.

例子（对积集起作用的对称群）:

令 $S$ 为一个集合，令 $S^{n}$ 为 $n$ 个 $S$ 的积。对称群通过以下方式作用于 $S^{n}$：

$\sigma (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})$.

请注意，在此记号中，我们将 $G$ 的元素与 $A$ 的自同构等同起来，该元素通过表示的同态被映射到该自同构。这种约定在整个群论中都被遵循，并且会被所有数学家理解。

定义（表示的等价性）:

设 $G$ 为一个群，${\mathcal {C}}$ 为一个范畴，$A,B$ 为 ${\mathcal {C}}$ 的对象，并且 $\rho :G\to A$、$\psi :G\to B$ 是 $G$ 在 $A$ 和 $B$ 上的两个表示。那么，一个**表示的等价**是一个同构 $f:A\to B$，使得

$\forall g\in G:g\circ f=f\circ g$.

命题（表示的等价的逆是表示的等价）:

令 $G$ 是一个群，${\mathcal {C}}$ 是一个范畴，$A,B$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的两个对象，以及 $\rho :G\to A$、$\psi :G\to B$ 是 $G$ 在 $A$ 和 $B$ 上的两个表示。令 $f:A\to B$ 是表示的一个等价。那么 $f^{-1}:B\to A$ 也是一个等价表示。

证明：我们有

$g\circ f^{-1}=f^{-1}\circ g\Leftrightarrow f\circ g\circ f^{-1}=g\Leftrightarrow g=g$,

因为 $f$ 是表示的一个等价。 $\Box$