HSC 扩展 1 和 2 数学/3-Unit/Preliminary/Harder 2-Unit

隐函数微分

隐函数微分是一种对 $x$ 和 $y$ 表达式进行微分的方法，其中 $x$ 和 $y$ 以某种方式相关，并且两者都不是常数。

例如，可以对 $f(x)=y^{2}$ 关于 $x$ 进行微分，如下所示

使用链式法则

${\begin{aligned}{\tfrac {df}{dx}}&={\tfrac {df}{dy}}\times {\tfrac {dy}{dx}}\\&=2y\times {\tfrac {dy}{dx}}\end{aligned}}$

将隐函数微分视为对 $x$ 进行的正常微分，只有当你遇到包含 $y$ 的项时，将微分后的项乘以 $dy/dx$。

另一个例子：求 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 的导数 $dy/dx$

工作

${\begin{aligned}2x+2y.{\frac {dy}{dx}}&=0\\2x&=-2y.{\frac {dy}{dx}}\\{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x}{y}}\end{aligned}}$