HSC 扩展 1 和 2 数学/4 单元/复数

本主题从代数和几何角度介绍了复数系统。其基本思想是引入一个数字 $i\,$，使得 $i\,$ 和 $-i\,$ 是二次方程的两个解，

$x^{2}+1=0\,$

$i\,$ 的倍数被称为纯虚数，而可以表示为 $a+bi\,$（其中 $a\,$ 和 $b\,$ 是实数）被称为复数。（这意味着所有实数也是复数。）复数的代数运算遵循所有标准代数规则，还有以下规则：

$i^{2}=-1\,$

这使得代数简化成为可能。

复数的结构

阿甘（复数）平面上一个点的图，显示极坐标形式和直角坐标形式

实部和虚部

所有复数都可以写成 $a+ib$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。在这种形式下，实部是 $a$，虚部是 $b$。复数 $z$ 的实部通常记为 ${\mbox{Re}}(z)$，虚部记为 ${\mbox{Im}}(z)$。

复数的向量几何表示（模长-辐角形式）

有时用向量表示复数会很有用。如果 $z=x+iy\,$，则可以在数轴上以 $(x,y)\,$ 为坐标画出一个点。从原点到点 $(x,y)\,$ 的向量也可以用它的 *模长* 或 **模数** （即从原点到点的距离）来描述——记为 $|z|\,$ ——以及它的 *角度* 或 **辐角** （即连接原点和该点的直线与 $x$ 轴的夹角）——记为 $\arg z$。模长通常记为 $r$，辐角记为 $\theta$。复数 $z=x+iy\,$ 就可以用 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,$ 的形式表示，其中 $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 且 $\theta =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$ （错误：参见讨论）。这被称为 **模长-辐角形式**，通常缩写为 $z=r{\mbox{cis}}\theta \,$。

复数的代数运算

本主题要求你经常对复数进行代数运算。为了做到这一点，你必须熟悉以下内容（你可以在 维基百科的复数页面 上阅读）：

• 复数相等的定义和系数相等
• 复数的加法、减法和乘法
• 复数的 共轭复数，包括它的代数简化。你应该尝试使用 $z=x+iy\,$ 和 ${\overline {z}}=x-iy$ 的形式证明一些性质。
• 代数处理复数分数

二次公式中的负平方根

复数允许我们使用二次公式来求解所有二次方程，即使平方根为负数。考虑以下二次方程，它没有实数解

$x^{2}+x+1=0\,$

使用二次公式

${\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\end{aligned}}$

我们处理负的平方根如下

${\begin{aligned}{\sqrt {-3}}&={\sqrt {3\times (-1)}}\\&={\sqrt {3}}\times {\sqrt {-1}}\end{aligned}}$

然而，需要注意的是

${\sqrt {-1}}\neq i\,$

而是

${\sqrt {-1}}=\pm i\,$

所以我们继续使用二次公式

${\begin{aligned}x&={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\\&={\frac {-1\pm ({\sqrt {3}}\times {\sqrt {-1}})}{2}}\\&={\frac {-1\pm ({\sqrt {3}}\times (\pm i))}{2}}\\&={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}\\&={\frac {-1}{2}}\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{aligned}}$

最后一种形式是首选的，因为它完全将方程中的实部和虚部分开了。注意，通常情况下，这里显示的细节是不需要的；预计你可以跳过上面工作中的第一行到第四行。

${\sqrt {-1}}\,$ 不是唯一的

虽然指出

${\sqrt {-1}}\neq i\,$

可能看起来很迂腐，但它是一件很重要的事情，要意识到并注意它。在实数系中，$x={\sqrt {a}}$ 被定义为（对于 $x$）的 **正** 解

$x^{2}-a=0\,$

在复数系中，没有有用的正负意义，因此平方根不能唯一定义。对于所有意图和目的，$i\,$ 可以被定义为 $x^{2}+1=0$ 的“另一个”根，处理复数不会改变。

为了说明直接说 ${\sqrt {-1}}=i\,$ 是错误的，请考虑以下情况：

$1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)\times (-1)}}={\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i^{2}=-1$

错误在于

• 将实数（唯一）定义的 ${\sqrt {x}}$ 与复数（非唯一）定义混淆
• 假设 ${\sqrt {-1}}=i\,$。如果我们不假设这一点，我们可以写成

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=(\pm i)\times (\pm i)=\pm i^{2}=\pm 1\,$

至少包含正确答案。

复数平方根

你应该能够求解类似以下的方程：

$z^{2}=1+i\,$

为了做到这一点，我们首先令

$z=a+ib\,$

然后

${\begin{aligned}(a+ib)^{2}&=1+i\\a^{2}+2aib+(ib)^{2}&=1+i\\a^{2}+2aib+i^{2}b^{2}&=1+i\\a^{2}+2abi-b^{2}&=1+i\\\end{aligned}}$

为了使两个复数相等，它们的虚部和实部必须相等。因此，我们可以分别将 i 的系数（复数系数）和实数相等。由此，我们可以解出 a 和 b

实部: $a^{2}-b^{2}=1$

虚部: $2ab=1$

解出

${\begin{aligned}b&={\frac {1}{2a}}\\a^{2}-\left({\frac {1}{2a}}\right)^{2}&=1\\a^{4}-a^{2}-{\frac {1}{4}}&=0\\\left(a^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}\right)-{\frac {1}{4}}&=0\\a^{2}&={\frac {1\pm {\sqrt {2}}}{2}}\\\end{aligned}}$

但 $a$ 是实数，所以 $a^{2}$ 是正数。

${\begin{aligned}a^{2}&={\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\\a&=\pm {\sqrt {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}}\\b&={\frac {1}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {1}{2+2{\sqrt {2}}}}}\\z&=a+ib\\&=\pm \left({\sqrt {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2+2{\sqrt {2}}}}}i\right)\end{aligned}}$

对于 $z$，我们有两个解，这是有道理的，因为二次表达式有两个根。我们可以通过平方来验证 $z^{2}=1+i$（留给读者作为练习）。