HSC 扩展 1 和 2 数学/积分

面积

• 微积分基本定理: $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, 其中 ${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)$

旋转体的体积

回想一下，固体的体积可以通过 $V=Ad\$ 求得，其中 $A$ 是横截面面积，而 $d\$ 是固体的深度，它垂直于横截面面积。

类似地，具有圆形横截面的固体的体积可以通过

• 绕轴（通常为 $x\$ 或 $y\$ 轴）
• 旋转曲线

对圆形切片的面积进行积分

由于圆的面积是 $A=\pi r^{2}\$，那么绕 $x$ 轴旋转生成的固体的体积的积分是 $V=\pi \int _{a}^{b}y^{2}dx$

注意，这是一个圆形横截面切片面积的总和，即 $\sum \pi r^{2}=\pi \sum r^{2}$.

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• $n\$-个区间 ($n+1\$ 个函数值): $\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{2}}\left[f(a)+2\sum f(x_{i})+f(b)\right]$

辛普森法则

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$