HSC 扩展 1 和 2 数学/线性函数

线性函数 y = mx + b 及其图形

当 m 和 b 为数值时，线性函数 y = mx + b 由一条直线表示。

线性方程 <math> mx + b = 0, (m \neq­ 0) </math> 只有一个根，如果 m 和 b 为有理数，则该根为有理数。这个简单且看似微不足道的结论值得注意；它并不适用于二次方程。

直线

过给定点且斜率为给定值的直线方程

过固定点 (x₁, y₁) 且斜率为 m 的直线方程为 y – y₁ = m(x – x₁)。

过两个给定点的直线方程

过两个给定点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程可以通过注意到斜率 m 必须是 y₂ – y₁ 与 x₂ – x₁ 的比率，即

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

验证数字对 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是否确实满足最终方程。

一般方程 ax + by + c = 0

线性方程 ax + by + c = 0 表示一条直线，前提是 a 和 b 中至少有一个不为零。

平行线

平行线具有相同的斜率

垂直线

两条斜率分别为 m 和 m' 的直线垂直当且仅当 mm' = –1.

直线交点

过两条给定直线交点的直线方程

任何过 a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 交点的直线都具有方程

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}+k(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})=0$

其中 k 是一个常数，其在任何特定直线的取值可以通过给定的附加信息来确定。

由直线确定的区域：线性不等式

直线轨迹 ax + by + c = 0 将数轴的其余部分划分为两个区域，分别满足不等式 ax + by + c < 0 和 ax + by + c > 0。每个区域都是一个半平面。

两条相交直线将平面的其余部分划分为四个区域，每个区域都由一对线性不等式定义。

1. $a1x+b1y+c1>0anda2x+b2y+c2>0$ 2. $a1x+b1y+c1>0anda2x+b2y+c2<0$ 3. $a1x+b1y+c1<0anda2x+b2y+c2>0$ 4. $a1x+b1y+c1<0anda2x+b2y+c2<0$

每个这样的区域是两个半平面的交集。推广到三条线两两相交的情况，包括将三角形的内部描述为三个半平面的交集，或者三个关于 x 和 y 的线性不等式的公共解。

两点之间的距离和点到直线的（垂直）距离

应推导出两点之间距离的公式，以及点 (x₁, y₁) 到直线 ax + by + c = 0 的垂直距离公式。

例如，可以使用以下证明。

经过 P 且垂直于已知直线的直线方程为

$bx-ay=bx_{1}-ay_{1}\;$

该直线在 (x₀, y₀) 与 ax + by = – c 相交，其中

$(a^{2}+b^{2})x_{0}=b^{2}x_{1}-aby_{1}-ac\;$

$(a^{2}+b^{2})y_{0}=-abx_{1}+a^{2}y_{1}-bc\;$

因此

$x_{1}-x_{0}={\frac {(a^{2}+b^{2})x_{1}-(b^{2}x_{1}-abx_{1}-ac)}{a^{2}+b^{2}}}$

$x_{1}-x_{0}={\frac {a(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}}$

和

$y_{1}-y_{0}={\frac {(a^{2}+b^{2})y_{1}-(a^{2}y_{1}-abx_{1}-bc)}{a^{2}+b^{2}}}$

$y_{1}-y_{0}={\frac {b(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}}$

因此

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}={\frac {a^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}+{\frac {b^{2}(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}$

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}$

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}={\frac {(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

对分子开平方得到±(ax₁ + bx₁ +c)，但距离只能为正数，因此我们使用绝对值。分母不能简化，因此保留正平方根符号。

${\mbox{distance}}={\frac {|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

区间的中点

应该给出给定区间的中点的坐标的直接推导。

端点为(x₁,y₁)和(x₂,y₂)的区间的中点为

$\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)$

几何中的坐标方法

用于解决几何问题的坐标方法的示例，应限于具有指定数据的示例。以下是一些典型的问题。

1. 证明顶点为 (1, 1)，(–1, 3) 和 (3, 5) 的三角形是等腰三角形。 2. 证明四个点 (0, 0)，(2, 1)，(3, –1)，(1, –2) 是一个正方形的四个角。 3. 已知A，B，C 分别为点 (–1, –2)，(2, 5) 和 (4, 1)，求点D，使ABCD 为平行四边形。 4. 求直线x = –3 上的点A 的坐标，使得连接A 与B (3, 5) 的直线垂直于直线2x + 5y = 12。