什么是函数

本课程的很大一部分致力于研究实变量的实值函数的性质。这样的函数 $f$ 将给定实数集中的每个元素 $x$ 赋值给一个实数 y，称为函数 $f$ 在 $x$ 处的值。

学生可以将函数视为一个过程，在该过程中，当输入一个数字（例如 $x$ ）时，可以生成一个数字（例如 $y$ ）。换句话说，函数只是在每个自变量（例如 $x$ ）只有一个因变量（例如 $y$ ）的关系。使用符号 $f(x)$ 明确表示了 $y$ 对 $f$ 和 $x$ 的依赖关系，表示 $f$ 在 $x$ 处的值。

示例

$f(x)=x^{2}$

对于每个 $x$ 值， $f(x)$ 只生成一个值。可以通过值表来证明这一点。

$x$	0	1	2	3	4
$f(x)$	0	1	4	9	16

函数 y = $f(x)$ 可以用其图像来表示，图像就是所有点 ( $x$ , $f(x)$ ) 的集合，对于 $f$ 定义域中的每个 $x$ ，相对于笛卡尔坐标轴 x，y 表示。

请注意，垂直线只与图形相交一次，因此图形是一个函数。

然而，关系不同于函数。关系是一组操作，将自变量与一组因变量联系起来。换句话说，对于单个 $x$ 值，可能存在多个 y 值。

示例

$x^{2}+y^{2}=1$

这是圆的公式。请注意，垂直线可能与圆相交超过一次，因此对于给定的 x 值，可能存在多个 y 值。这可以用图形或代数方式说明。

$x^{2}+y^{2}=1$

$y^{2}=1-x^{2}$

$y=\pm {\sqrt[{}]{1-x^{2}}}$

定义域

函数的定义域只是一组可能的 $x$ 值，对于这些值，其对应的 $f(x)$ 存在。

示例

$f(x)={\sqrt[{}]{1-x^{2}}}$

我们知道，在实数中，我们不能对负数开平方根。因此，通过求解以下不等式，我们可以找出此函数的定义域。

$1-x^{2}\geq 0$

$1\geq x^{2}$

$x^{2}\leq 1$

∴ 此函数的定义域是所有实数 x，其中 $-1\leq x\leq 1$ 。

请注意，许多问题围绕有理函数测试这个主题。请记住，当分母为零时，该数是未定义的。

示例

$f(x)={\frac {1}{x^{2}+5x+6}}$

由于当分母为零时该数是未定义的，我们可以将分母等效为零，以找出该函数何时未定义。

$x^{2}+5x+6=0$

$(x+2)(x+3)=0$

$(x+2)=0$ 或者 $(x+3)=0$

$x=2,3$

∴ 此函数的定义域是所有实数 x，其中 $x\neq 2,3$ .

值域

函数的定义域只是一组可能的 $f(x)$ 值，对于这些值，其对应的 $x$ 存在。这与定义域非常相似，但关注的是不同的轴。

示例

$f(x)=x^{2}$

解决这个问题的最佳方法是绘制一个有关函数的草图。如您所见，此函数只是一个抛物线。我们知道所有抛物线的两臂都延伸到正无穷大或负无穷大，具体取决于抛物线符号。在这个抛物线中，我们可以看到它的最小点（最小值）在 0 处，没有 $f(x)$ 值存在于它之下。因此，我们知道此函数的所有可能的 $f(x)$ 值都高于 0（包括 0）。

∴ 此函数的值域是所有实数 y，其中 $y\geq 0$ .

偶函数/奇函数

首先，我们简要地看一下一些典型的偶函数。

如明显所示，偶函数是指关于 Y 轴对称的函数。现在，为了解决偶函数问题，我们需要将这种地理描述变得更加数学化。

如您所见，如果您输入 1 或 -1，此函数的输出保持不变。因此，我们可以推断出，如果一个函数是偶函数，那么 $f(x)=f(-x)$ .

示例

证明函数 $f(x)={\frac {x^{4}+1}{x^{2}+x^{4}}}$ 是偶函数。

首先，不要被这个看似复杂的函数吓倒，你不需要绘制它。

计算 $f(-x)$ ；为此，将所有 x 替换为 (-x)。

$f(-x)={\frac {(-x)^{4}+1}{(-x)^{2}+(-x)^{4}}}$

众所周知，如果

$(-x)^{2}=x^{2}$ ，因此

$((-x)^{2})^{2}=(x^{2})^{2}$ ，因此

$(-x)^{4}=x^{4}$

事实上，任何偶数次方都会使括号内的值变为正数。

因此

$f(-x)={\frac {x^{4}+1}{x^{2}+x^{4}}}$

∴ $f(x)=f(-x)$ ，f(x) 是偶函数。

轨迹

区域/不等式

因变量和自变量。函数符号。值域和定义域。

本课程的大部分内容都致力于研究实变量实值函数的性质。这样的函数 f 将给定一组实数中的每个元素 x 赋予一个唯一的实数 y，称为函数 f 在 x 处的函数值。y 对 f 和 x 的依赖性是通过使用符号 f(x) 来明确表示的，表示 f 在 x 处的函数值。定义 f 的实数 x 的集合称为 f 的定义域，而当 x 在 f 的定义域中变化时获得的函数值 f(x) 的集合称为 f 的值域或像。x 称为自变量，因为它可以在 f 的定义域内自由选择，而 y = f(x) 称为因变量，因为它的值取决于 x 的值。

在本课程中学习的函数 f 通常由一个明确的规则给出，该规则涉及对变量 x 进行计算以获得 f(x)。因此，函数 f 通常以 ‘y = f(x)’ 的形式描述，并指定 x 的定义域。

在没有给出定义域的情况下，也经常使用 “函数 f(x)” 这种说法，其中 f(x) 已被规定。在这种情况下，需要培养的理解是，f 的定义域是使表达式 f(x) 定义实数的所有实数的集合。

重要的是要认识到，使用符号 y = f(x) 并不意味着与 f(x) 相对应的表达式对所有 x 都是相同的。例如，规则

$f(x)=x,x\geq 0$

$f(x)=-x,x<0\;$

定义了一个定义域为所有实数 x 的函数。

x 和 y 的使用是惯例，并且与函数 f 的几何表示有关，即在 x 属于 f 的定义域的情况下，通过绘制点 (x, f(x)) 的集合来绘制函数 f 的图像，使用笛卡尔 (x, y) 坐标系。在实践中，自变量和因变量的其他符号经常出现，学生应该熟悉用其他符号定义的函数。

函数的图像。简单示例。

函数的图形表示非常有用且重要，就像函数的代数和几何描述在理解和学习它们的性质方面都有帮助的想法一样。

函数 y = f(x) 可以通过其图像以图形方式表示，该图像是在 f 的定义域中每个 x 的点 (x, f(x)) 的集合，相对于笛卡尔坐标轴 0x0y 表示。将坐标为 (x, f(x)) 的点表示为 P，函数的图像（有时是函数本身）通常被称为 “点 P(x, f(x)) 的集合”。由于 f 是一个函数，因此在任何纵坐标上最多只有一个点 P 属于它的图像。y = f(x) 的图像也称为曲线 y = f(x)，而曲线位于两个纵坐标之间的部分称为弧。

应该给出函数 y = f(x) 的示例，这些示例说明了不同类型的定义域、有界和无界的值域、连续和不连续的曲线、显示简单对称性的曲线、有尖角的曲线和有渐近线的曲线。应该鼓励学生养成绘制草图的习惯，这些草图表明他们所呈现的任何函数的图像的主要特征。他们也应该在此时养成检查函数简单性质并识别简单特征的习惯，例如

函数在何处为正？负？零？; 在何处递增？递减？; 它是否有任何对称性？; 它是有界的吗？; 它是否有间隙（跳跃）或尖角？; 是否存在渐近线？

了解奇函数和偶函数图像的对称性有助于曲线绘制。

如果对定义域中所有 x 值，f(–x) = f(x)，则函数 f(x) 为偶函数。它的图像关于 y 轴对称，即它关于 y 轴具有线对称性。如果对定义域中所有 x 值，f(–x) = –f(x)，则函数 f(x) 为奇函数。它的图像关于点 0（原点或坐标轴）对称，即它关于原点具有点对称性。

几何关系的代数表示。轨迹问题。

本节中的一些工作可能有利地与主题 6 和 9 结合起来进行讨论。具有给定中心 C 和给定半径 r 的圆定义为平面中到 C 的距离为 r 的所有点的集合。如果在平面上建立笛卡尔坐标轴 0x0y，使得 C 是坐标为 (a, b) 的点，则距离公式表明，P(x, y) 在给定圆上当且仅当 x 和 y 满足方程 (x – a)² + (y – b)² = r²，因此该方程是与上述几何描述相对应的代数表示。

应该注意，如果使用该方程将 y 表示为 x 的函数，则将获得两个函数：y = b + √(r² – (x – a)²) 和 y = b – √(r² – (x – a)²)，每个函数的定义域为 a – r 小于或等于 x 小于或等于 a + r。

一般来说，可以用代数方法描述满足以几何术语陈述的简单条件的点的集合，方法是引入笛卡尔坐标并将原始条件解释为 x 和 y 之间的条件。然后，这些条件通常会简化为一个或多个方程或不等式。

涉及确定满足给定数量条件（这些条件可以用几何或代数方式表达）的点的集合的问题称为轨迹问题，通常用“找到满足……的点 P 的轨迹”的形式来表达。实际上，这意味着“找到满足……的所有点 P 的集合的简单代数或几何描述”。

区域和不等式。简单示例。

处理应限于（笛卡尔 x，y -）平面的区域，这些区域允许简单的几何描述——例如，通过使用诸如内部、外部、边界、边界、扇区、公共于等词语——并且允许使用一个或多个关于 x 和 y 的不等式进行简单的代数描述。

示例应简单，最多包含一个非线性不等式，但应包括有界区域和无界区域。注意，一个或多个线性不等式的案例在主题 6.4 中被明确列出。

对于每个示例，应绘制一个清晰的草图图，说明相关区域。其代数描述涉及两个或多个不等式的区域应理解为由每个单独不等式确定的区域的公共部分（交集）。