HSC 扩展 1 和 2 数学/级数和级数应用

算术级数。第 n 项和 n 项之和的公式。

一个序列是一组遵循规则或模式的数字。序列中的数字称为项，用T_n表示，其中n是数字在序列中的位置。项使用自然数 (1, 2, 3 ...) 计数，因此没有项 0 也没有负项。序列通常表示为包含其第 n 项和一个规则的方程。例如

$T_{n}\ =2^{n}$

其中T_n是序列的第 n 项，而2ⁿ是序列遵循的规则。

此序列的前四项 (T₁, T₂, T₃, T₄) 为 2, 4, 8, 16。

算术序列

一个算术序列是一个数字序列，其中连续项之间的差是一个常数，称为公差。

如果你将公差表示为d，则算术序列的前n项可以写成第一项 T₁ 与公差的倍数的和，即

$T_{1},\ T_{1}+d,\ T_{1}+2d,\ ...,\ T_{1}+(n-3)d,\ T_{1}+(n-2)d,\ T_{1}+(n-1)d$

其中T₁ + (n-1)d是序列的第 n 项。由此我们可以将算术序列的规则写成

$T_{n}\ =T_{1}+(n-1)d$

其中T_n是第 n 项，T₁是第一项，而d是公差。

由此，我们可以得到一个更一般的方程，该方程将序列的任意两项与公差联系起来。

首先，取两个不同的项T_a和T_b，并根据规则T_n = T₁ + (n-1)d分别在方程 1 和方程 2 中定义它们

1. $T_{a}\ =T_{1}+(a-1)d$

2. $T_{b}\ =T_{1}+(b-1)d$

现在从方程 2 中减去方程 1

$T_{b}-T_{a}\ =T_{1}+(b-1)d-T_{1}-(a-1)d$

T₁ 项消失，因为它从自身中减去

$T_{b}-T_{a}\ =(b-1)d-(a-1)d$

对等式右侧的两项进行因式分解，将d放在括号外。

$T_{b}-T_{a}\ =(b-1-(a-1))d$

简化。

$T_{b}-T_{a}\ =(b-a)d$

然后，只需将 T_a 移到等式的右边，方法是在两边都加上 T_a。

$T_{b}\ =T_{a}+(b-a)d$

好了，这就是任何等差数列问题的通用公式。对于大多数人来说，当他们看到方程 T_n = T₁ + (n-1)d 时，这可能是直观的，但无论如何。从这里你可以算出公差，如果你知道 T_a 和 T_b 的值，以及 a 和 b 的值。只要你知道了 5 个变量中的 4 个的值，你就可以解出未知的变量，或者如果你在两个方程中有了 5 个变量中的 3 个的值，你就可以用联立方程来解。

问题

1. 求数列 1, 5, 9, 13, ... 的第 20 项。
2. 求数列 20, 17.5, 15, 12.5, ... 的通项公式。
3. 写出等差数列 T_n = 8 - 4n 的前 3 项。
4. 写出包含所有自然奇数（即 1, 3, 5, ...）的数列的方程。
5. 如果 T₃ = 4 且 T₇ = 100，求 T_n 的公式。
6. 如果 T₁ = 7，公差 d 为 5，且 T_n = 132，求 n。
7. 一个梯子的踏板间距不均匀，每两根踏板之间的距离增加 0.5 厘米。如果第一根踏板到第二根踏板之间的距离为 20 厘米，那么第五根踏板到第六根踏板之间的距离是多少？

等差数列

级数是指数列各项的和。如果我们有一个定义为 T_n = n 的数列，那么它的级数看起来像这样

$\ 1+2+3+...+n-2+n-1+n$

如果我们将从 T₁ 到 T_n 的数列之和记为 S_n，那么我们可以写出方程

$\ S_{n}=1+2+3+...+n-2+n-1+n$

例如，S₅ 等于 15。但这有什么用呢？难道你不能直接把它们加起来，而不必写出来吗？好吧，如果你想求 S₅₀₀。用手加 500 个数字需要很长时间，用计算器可能更好，但只是稍微好一点。但幸运的是，我们有一个非常简单的快捷方式可以解决这种方程。首先，我们用 T₁ 和公差 d 来写出 S_n 作为数列项的和。这可以通过使用方程 T_n = T₁ + (n-1)d 来实现，其中级数中的所有项都用这种方式重写，例如 T₃ = T₁ + (3-1)d，因此 T₃ = T₁ + 2d。所以方程看起来像

$\ S_{n}=T_{1}+T_{1}+d+T_{1}+2d+...+T_{1}+(n-3)d+T_{1}+(n-2)d+T_{1}+(n-1)d$

其中 T₁ + (n-1)d 是第 n 项。这个级数中有 n 项，因此级数中 T₁ 有 n 项。这使我们能够将这个方程改写为

$\ S_{n}=nT_{1}+d+2d+3d+...+(n-3)d+(n-2)d+(n-1)d$

嗯，这并没有真正帮助我们。现在我们只有 T₁ 乘以 n，加上一个公差为 d 的等差数列。难道我们还是像开始一样卡住了吗？是的。但接下来的这一步将使一切变得清晰。

如果我们现在使用第 n 项 T_n 而不是第一项来写出这个和，使用方程 T_b = T_a + (b-a)d，其中 T_a 是第 n 项，以便我们只使用第 n 项和公差，我们将得到方程

$\ S_{n}=T_{n}+(1-n)d+T_{n}+(2-n)d+T_{n}+(3-n)d+...+Tn-2d+T_{n}-d+T_{n}$

其中 T_n + (1-n)d = T₁

这次公差是被减去的，因为在方程 T_b = T_a + (b-a)d 中，a = n，并且在第一项中 b = 0，然后在第二项中 b = 1，所以 (b-a)d 在 b = n 之前为负，在 b = n 时为零。我们可以将它反过来，使它看起来更像我们得到的第一级数，方法是将最大的 d 项放在末尾，并将公式 T_b = T_a + (b-a)d 中的 (b-a) 改为 -(a-b)。

$\ S_{n}=T_{n}+T_{n}-d+Tn-2d+...+T_{n}-(n-3)d+T_{n}-(n-2)d+T_{n}-(n-1)d$

同样，因为这个数列中有n项，所以这个数列中有n个T_n项。这使我们能够将这个等式改写为

$\ S_{n}=nT_{n}-d-2d-3d-...-(n-3)d-(n-2)d-(n-1)d$

哇，现在我们有n次方项乘以n，它有一个算术数列，其中公共差正在从它中减去，我想回到开头了。但是嗯，这让我想起另一个等式......呃......二次公式？不......哦，等等，我们刚看到同一个数列用不同的但类似的形式写出来。

$\ S_{n}=nT_{1}+d+2d+3d+...+(n-3)d+(n-2)d+(n-1)d$

有趣，但我们如何利用它呢？好吧，如果你还没有弄清楚我们要做什么，别担心，因为这东西相当棘手。我们将把两个等式加在一起。怎么做？像这样

$\ S_{n}+S_{n}=nT_{1}+d+2d+3d+...+(n-3)d+(n-2)d+(n-1)d\quad +\quad nT_{n}-d-2d+3d-...-(n-3)d-(n-2)d-(n-1)d$

我们将一个等式的一侧加到另一个等式中对应的另一侧，将等式的另一侧加到另一个等式中对应的另一侧。我可能不需要解释这个，因为在算术数列部分已经展示过类似的东西，而且你可能之前也见过，但无论如何。

现在，如果我们通过去除公共差的算术数列来简化。因为第一个数列中的每个公共差项在第二个数列中都有一个对应的负差项，所以它们完美地抵消了。万岁！

$\ 2S_{n}=nT_{1}+nT_{n}$

哇，没有更多烦人的公共差项了。现在剩下的就是通过将n放在括号外面进行因式分解，然后通过将两边除以 2 使 S_n 成为主语。

$\ S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{n})$

哇，这看起来很简单。所以，如果我们回到同一个数列T_n = n，我们可以毫不费力地找到S₅₀₀。n 将是 500，T₁ 将是 1，T_n 将是 500。所以

$\ S_{n}={\frac {500}{2}}(1+500)$

$\ S_{n}=250(501)$

所以现在我们可以直接说 250 乘以 5 是 1250 乘以 100 是 125000 加上 1 乘以 250 是 125250，就这样，一个很大的总和。当然，有些问题需要大量的乘法，这会占用我们繁忙生活中不合理的时间，但这几乎是计算器的发明原因。

我们可以进一步使用方程T_n = T₁ + (n-1)d 来得到方程

$\ S_{n}={\frac {n}{2}}(T_{1}+T_{1}+(n-1)d)$

简化为

$\ S_{n}={\frac {n}{2}}(2T_{1}+(n-1)d)$

看起来不错吧？如果你想找到从第 5 项到第 10 项的所有数字的总和呢？好吧，你只需找到S₁₀ 并减去S₄（S₅ 的总和中包含T₅，我们不想减去它）。所以基本上这就是你需要了解的关于算术数列的所有内容。接下来是几何数列和数列，还有更多乐趣 =）。

求和符号

你可能应该学习如何理解以这种格式编写的数列......嗯

问题/练习

1. 证明对于包含所有自然奇数的数列（即 1、3、5、...），它的数列只包含完全平方数（即 1、4、9、...）。
2. 一名跑步者从田野上的一个点出发开始跑步，跑了 10 米，然后转身跑了 20 米。下一次跑步将是 30 米，然后是 40 米，依此类推。跑步者跑完 10 圈（往返）后跑了多少米？

几何数列和数列

几何数列

几何数列是一个数列（当然了），其中每一项都等于它前面的一项乘以一个常数。一个简单的例子是 3、6、12、24、48。在这个数列中，用来乘以各项的常数是 2。这个数被称为公比，因为一项与它前面的一项之间的比率与任何其他项与它前面的一项之间的比率相同。

定义几何数列中一项的常用方法是

$T_{n}=ar^{n-1}$

其中 T_n 是第 n 项，a 是首项，r 是公比

上面使用的 3、6、12、24、48 的例子将被定义为 T_n = 3×2ⁿ

为了证明一个数列是几何数列，需要证明项之间存在公比，可以使用以下公式

${\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$

这可以改写为

$T_{n}^{2}=T_{n+1}\times T_{n-1}$

几何级数

就像等差级数一样，几何级数是几何数列中各项的和。同样地，如果我们将几何级数前 n 项的和记为 S_n，几何级数的第 n 项记为 T_n = ar^n-1，那么我们可以得出 S_n 的公式

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n-3}+ar^{n-2}+ar^{n-1}$

现在我们要找到一个只包含首项和公比的 n 次方的简单公式。为此，我们将等式的两边都乘以 r

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^{n}$

接下来我们将通过从第二个等式中减去第一个等式来求 rS_n - S_n。

$rS_{n}-S_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1}+ar^{n}-a-ar-ar^{2}-...-ar^{n-3}-ar^{n-2}-ar^{n-1}$

现在我们只需要收集各项。除了第一个级数中的 a 和第二个级数中的 arⁿ 之外，每一项在另一个级数中都有一个对应的项，所以当我们用一个减去另一个时，这些项会相互抵消。在这个模块中，这种情况似乎经常发生。

$rS_{n}-S_{n}=-a+ar^{n}$

现在我们将等式的两边都进行因式分解，将 S_n 放在左边括号外，将 a 放在右边括号外。

$S_{n}(r-1)=a(r^{n}-1)$

将等式右边重新排列，将无符号数字放在前面。现在，我们将等式的两边都除以 (r - 1)，使 S_n 成为主语

$S_{n}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}$

现在我们可以找到类似于前 10 个 3 的幂的总和，它可以定义为 Tn = 3^n-1。这里 a = 1，r = 3 且 n = 10。使用公式

$S_{n}={\frac {1(3^{10}-1)}{3-1}}$

$S_{n}=(3^{10}-1)/2$

3 的 10 次方是 59049，所以答案是 59048/2，也就是 29524。太棒了。当然，几何级数在其他领域，比如复利，有着更好的用途。

无限几何级数

那么，如果 n 趋近于无穷大，会发生什么呢？你会不断地添加越来越多的项，所以总和也会越来越大。这在某种程度上需要对极限的了解，但并非完全如此。在几何级数的公式中，当 n 趋近于无穷大时，唯一改变的是 rⁿ。如果 r 大于 1，那么当 n 趋近于无穷大时，rⁿ 也趋近于无穷大。如果你绘制 y=r^x 的图像，就可以看到这一点。如果 r 小于 -1，那么当 r 趋近于无穷大时，rⁿ 趋近于正无穷大或负无穷大。你无法确定无穷大是奇数还是偶数，所以 r^∞ 可以是负数或正数。当 r = -1 时，也会出现同样的问题。你无法确定 -1 的无穷大次方是 1 还是 -1，所以总和要么是未定义的（0 除以 0），要么是 a。如果 r 是 1，那么级数公式就不起作用了，因为这会导致分子和分母为 0。如果 r = 1，那么该序列就是等差数列，公差为 0，所以你可以使用等差数列公式，即使存在公比。

那么，如果 r 介于 -1 和 1 之间呢？一个小于 1 的数乘以另一个小于 1 的数，会得到一个比这两个数都小的数。因此，随着 n 变大，rⁿ 变小。如果 n 无限大，那么 rⁿ 将无限小。实际上，它会变得非常小，以至于我们可以直接说它等于 0。这样一来，如果 r 为负数，则无穷大是奇数还是偶数就不重要了，因为 0 既不是正数也不是负数。我们可以改写几何级数公式来反映这一点。

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {a(-1)}{r-1}},|r|<1$

rⁿ 实际上变成了 0，因此消失了。我们可以通过将分子和分母都乘以 -1 来使它看起来更整洁，以消除上面的 -1。

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {a}{1-r}},|r|<1$

好了。现在你可以证明 1 加上 1/2 加上 1/4 加上 1/8 加上 1/16 加上...... 等于 2。这有什么用呢？它可以用来显示无限和的极限，以及提供另一种将循环小数转换为分数的方法。

循环小数

嗯，你可能知道将循环小数转换为分数的代数方法。如果你不知道，没关系，因为我可以举个例子，即使这在 2 个单元课程的开头就讲过。假设你有数字 1.26333...。我们可以使用代数将它转换为分数。

$x=1.26333...$

$100x=126.333...$

$1000x=1263.333...$

右边的 .333 部分抵消了，消除了循环问题

$1000x-100x=1263.333...-126.333...$

$900x=1137$

$x={\frac {1137}{900}}$

$x=1{\frac {79}{300}}$

瞧，小数。但是我们能把等比数列应用到这个吗？我们可以把 1.26333... 重写为 1.26 + 0.003 + 0.0003 + 0.0003 + ... + 0.003×10^1-n。所以这里 1.26 只是一个我们加上的数字，构成等比数列的公比是 0.003，该数列的公比是 10^-1。但这个数列的项数是无穷的。但公比小于 1 且大于 -1，所以我们可以使用无穷等比数列的公式

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {a}{1-r}}$

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {0.003}{1-0.1}}$

$S_{n}\lim _{n\to \infty }={\frac {1}{300}}$

所以现在我们只需要把 1/300 加到 1.26 上，用 300 乘以 1.26 得到 1 加 378 除以 300，结果是 379 除以 300，或者 1 和 79 除以 300。

复利

等比数列在复利中非常有用。从基本的复利开始，假设你在银行投资了 1000 美元。这家银行宣传年利率为 12%，但每月支付利息，所以每月利息为 1%（12% 除以 12 个月）。这笔初始存款在 5 个月后连同所有获得的利息价值多少？好吧，它每个月都会增加 1%，所以，1 个月后它将是 1000×1.01，2 个月后它将是 1 个月后的金额乘以 1.01，即 1000×1.01²，3 个月后它将是 1000×1.01³，4 个月后是 1000×1.01⁴，5 个月后是 1000×1.01⁵。所以存款一直在乘以 1.01

这可以看作是一个等比数列，1000 是公比，1.01 是公比。在第一项结束时，存款价值为 1000×1.01 美元，在第二项结束时，存款价值为 1000×1.01² 美元，在第 n 项结束时，存款价值将为 1000×1.01ⁿ 美元。基本上，这可以写成一个通用公式

$A_{n}=PR^{n}$

其中 A_n 是 n 个月或年（或利息支付的频率）结束时的金额

P 代表本金，是存入的本金。

R 是利率加上 1（所以 1% + 1 是 1.01）

当然，这也适用于贷款，如果没有任何还款（这非常不负责任），贷款的规模会像银行存款一样增加。

在处理此类问题时，您需要注意一些事项。首先，确保您知道利息的支付频率以及该期间的利率。通常问题，比如上面的问题，会给出每年的百分比利息，但问题说利息是按月支付的，所以您需要将给定的利率除以 12。另一个需要注意的是问题要求的存款价值所在的月份。在上面的问题中，它询问了每个月结束时的金额。如果它询问了每个月开始时的金额，第一项将是 1000 美元，最后一项将是 1000×1.01^n-1 美元，所以公式将变为

$A_{n}=PR^{n-1}$

这更接近等比数列的公式，因为没有第 0 项，所以公比被提升到 n-1 的幂。

年金

这是复利问题的下一个层次。当您没有添加任何东西时，计算银行账户或贷款中的金额很容易，但如果您定期付款怎么办？最常见的情况是用定期分期付款偿还贷款。

好吧，您从银行借了 2000 美元，年利率为 12%（更容易除以 12），利息每月加计，所以月利率为 1%。您想在 5 个月内偿还它，并定期偿还 Q 美元。

所以您在第一个月开始时有 2000 美元的贷款，并且您希望在每个月结束时偿还相同的金额，以便在第 5 个月结束时完全偿还贷款。让我们计算一下每个月结束时贷款剩余的金额。

在第一个月结束时，您将获得原始贷款的 1% 利息，然后偿还金额 Q。

$\$2000\times 1.01-Q$

在第二个月结束时，利息将加到第一个月结束时的贷款金额上，所以 2000×1.01 - Q 乘以 1.01，然后您偿还金额 Q

$\$2000\times 1.01^{2}-1.01Q-Q$

在第三个月结束时，利息的 1% 将加到贷款上，然后您再次偿还 Q

$\$2000\times 1.01^{3}-1.01^{3}Q-1.01^{2}Q-1.01Q-Q$

下个月...

$\$2000\times 1.01^{4}-1.01^{4}Q-1.01^{3}Q-1.01^{2}Q-1.01Q-Q$

lalala...

$\$2000\times 1.01^{5}-1.01^{5}Q-1.01^{4}Q-1.01^{3}Q-1.01^{2}Q-1.01Q-Q$

好的，现在我们有了原始贷款乘以利息的幂，减去很多 Q 项。如果你仔细观察，你可能会注意到 Q 项构成一个几何级数，即使它是负的。我将为你重新排列它。

$\$2000\times 1.01^{5}-(Q+1.01Q+1.01^{2}Q+1.01^{3}Q+1.01^{4}Q+1.01^{5}Q)$

好了。现在我们可以重写这个级数，使它看起来漂亮整洁。

$\$2000\times 1.01^{5}-{\frac {Q(1.01^{5}-1)}{1.01-1}}$

因为我们希望在 5 个月内偿还贷款，每月偿还 Q，所以我们可以在 5 个月后，贷款中的金额将等于 0，因此 PRn - Q 的几何级数将等于 0

$\$2000\times 1.01^{5}-{\frac {Q(1.01^{5}-1)}{1.01-1}}=0$

$\$2000\times 1.01^{5}={\frac {Q(1.01^{5}-1)}{1.01-1}}$

$(\$2000\times 1.01^{5})(1.01-1)=Q(1.01^{5}-1)$

${\frac {(\$2000\times 1.01^{5})(1.01-1)}{(1.01^{5}-1)}}=Q$

使用计算器，我得到 412.08 的值，所以要偿还 5 个月的贷款，你需要每月支付 412.08 美元。

所以现在我们可以像复利一样做一个通用公式。

$A_{n}=PR^{n}-{\frac {Q(R^{n}-1)}{R-1}}$

其中 An 是 n 个月或年（或利息支付的频率）结束时贷款中剩余的金额。

P 代表本金，是指贷款中提取的本金金额。

R 是利率加上 1（所以 1% + 1 是 1.01）

但你也可以将它用于养老金，或者只是银行存款，通过添加几何级数而不是减去。

$A_{n}=PR^{n}+{\frac {Q(R^{n}-1)}{R-1}}$

你也可以将它用作贷款和投资的通用公式，其中定期付款正在进行，方法是说对于贷款，本金金额为负（如果你认为贷款从 0 开始，然后你提取 P 来消费，这会在贷款中产生负 P 来平衡它，那么实际上就是这样。或者你可以接受贷款会花费你）。这样，投资就从正数开始，并且越来越大，而贷款就从负数开始，然后越来越小，直到达到 0。或者如果你很愚蠢，你可能会进行负面付款，所以你的投资会越来越小（例如，从银行账户中定期取款），而你的贷款会越来越大（从现有贷款中定期借款）。

同样，你需要像复利一样注意相同的事项。确保你知道利息的添加频率和利息的给定时间尺度，因此，如果存在每月付款，请确保将每年的百分比利息转换为每月的利息，如果它是每年的利息。它可能是每季度，你永远不会知道 =）

此外，如果问题要求你在期限开始时找到余额中的金额，它与你在之前查看期限结束时的情况相同，所以只需将 n 更改为 n-1，例如

$A_{n}=PR^{n-1}-{\frac {Q(R^{n-1}-1)}{R-1}}$