HSC 扩展 1 和 2 数学/二次多项式和抛物线

本节旨在阐述二次函数的代数性质，并将其与抛物线曲线联系起来。

二次多项式 ax² + bx + c

二次多项式：ax² + bx + c 是一个二阶二次多项式或二次表达式。为了区分 x 和系数 a、b 和 c，它可以被称为不定元。

当 x 的定义域被指定时，二次多项式就变成了一个函数。在所有将要研究的二次多项式中，系数将是有理数（通常是整数），而 x 的定义域将是实数集。二次函数将表示为

$y=ax^{2}+bx+c$

二次函数的图像

二次函数的图像：已经学习过非常简单的例子。在进一步练习二次函数的图像时，教师应该强调，在每个特定情况下，一般兴趣点，例如（1）对于 x 的较大值，项 ax² 有效地决定了函数的值；（2）图像与二次方程 ax² + bx + c = 0 的根之间的关系。示例应包括图像分别与 x 轴有两个公共点、一个公共点和没有公共点的案例。

二次方程的根

使 y = 0 的 x 值是二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根。术语“多项式的零点”可能在教师的酌情决定下引入。

二次不等式

二次不等式：二次函数的图像应用于解决二次不等式，例如，求使 12 + 4m – m² > 0 的 m 值。

二次方程的一般理论，根与系数之间的关系

回顾可以通过因式分解解决的简单二次方程。

通过“配方法”在特定情况下求解。

需要注意的是，应用于类似 x² + 2x + 2 = 0 的方程，该方法得到 (x + 1)² + 1 = 0，表明找不到可以使 x² + 2x + 2 等于零的（实数）x 值。传统公式是通过将配方法应用于一般二次方程推导出来的。

二次方程的根 α、β 与其系数 a、b、c 之间的关系 α + β = –b/a，αβ = c/a 可以直接从一般解中推导出来。如果一个方程的根是 α、β，则它的形式为 a(x–α) (x–β) = 0 或 a[x2 – (α + β)x + αβ] = 0。

本大纲中不包括涉及寻找根与其他方程的根有特定关系的方程的练习。

判别式

判别式需要被定义并用于确定实数根、相等根或有理根的条件；学生应该被提醒“判别”这个词在普通语言中的含义。通过实际求解一般二次方程，一个重要的存在定理已经建立起来：一个二次方程可以有两个（实数）根、一个根或没有根。它没有超过两个根。

二次表达式的分类；两个二次表达式的恒等

从 $ax^{2}+bx+c=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a^{2}}}\right]$

(一般结果当然会在具体例子之前给出)，推导出正定、负定和不定二次表达式的条件。只有当 b² > 4ac 时，表达式才能取正值和负值，并且在 x 的所有值范围内（除了方程 ax² + bx + c = 0 的根之间的值）与 a 符号相同。此外，当 x = – b/2a 时，ax² + bx + c 具有最大值或最小值，且该最大值或最小值为 (4ac – b²)/4a。

另一种方法是考虑表达式

$f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$

1. 假设判别式 Δ = b² – 4ac < 0。则 f 不能为零。因此，如果 Δ < 0 且 a > 0，则对于 x 的所有值，f > 0，称为正定。如果 Δ < 0 且 a < 0，则对于 x 的所有值，f < 0，称为负定。2. 如果 Δ > 0，则 f 在 x 的两个不同值（例如 x₁ 和 x₂）处等于 0。f 的最大值或最小值出现在 x = 1/2 × (x₁ + x₂) 处，并且 f 取正值和负值。3. 如果 Δ = 0，则 f 在 x 的一个值（在 x = – b/2a）处等于 0。然后，对于 x 的所有值，如果 a > 0，则 f >= 0，如果 a < 0，则 f <= 0。4. f 的转折点位于 df/dx = 0（当 f 的梯度为 0 时），即在 x = – b/2a 处。

学生应该学会找到 f 的转折点和零点（如果有的话），以便绘制 f 的图形。

定理：如果 a₁x² + b₁x + c₁ = a₂x² + b₂x + c₂ 对两个以上的值 x 成立，那么

$a_{1}=a_{2},b_{1}=b_{2},c_{1}=c_{2}.$

证明归结为讨论方程 ax² + bx + c = 0，其中 a = a₁ – a₂，b = b₁ – b₂，c = c₁ – c₂。初学者会发现证明难以理解。二次方程的解题过程表明，ax² + bx + c = 0 最多可以存在两个 x 值。有一个例外：如果 a = b = c = 0，则表达式对 x 的所有值都存在。如果已知 ax² + bx + c = 0 对两个以上的值 x 成立，那么我们必须得出结论 a = b = c = 0。否则，数据将与我们提供矛盾。示例应包括将二次多项式 ax² + bx + c 表示为 Ax(x – 1) + Bx + C 的形式，其中 C = c，A = a，B = a + b，将二次函数拟合到三个给定的函数值，以及类似的恒等式。

可化为二次方程的方程

应该讨论以下类型的示例

$x^{4}-4x^{2}-12=0$
$(x+1)^{2}=4x^{2}$
$9^{x}-4(3)^{x}+3=0$
$(x+{\frac {1}{x}})^{2}-5(x+{\frac {1}{x}})+6=0$

定义为轨迹的抛物线

抛物线定义为一个点的轨迹，该点移动使得它到一个定点的距离等于它到一条定直线的距离。

应该给出焦点、准线、顶点、轴和焦距的定义，并用示例进行说明。

方程 x^2 = 4Ay

如果定点是 (0, A) 并且定直线是 y = –A，那么轨迹的方程为

$x^{2}=4Ay$ 或 $y=x^{2}/4A$

顶点不在 (0, 0) 处时使用原点变换

例如，通过考虑以下情况：(a) 焦点为 (x₀, A) 并且准线为 y = –A，(b) 焦点为 (0, y₀ + A) 并且准线为 y = y₀ –A，(c) 焦点为 (x₀, y₀ + A) 并且准线为 y = y₀ –A。

对方程的解释

$(x-x_{0})^{2}=4A(y-y_{0})$

应该将该方程视为表示顶点为 (x₀, y₀)，对称轴为 x = x₀，焦点为 (x₀, y₀ + A)，准线为 y = y₀ – A 的抛物线。类似地，方程 (x – x₀)² = –4A(y – y₀)，(y – y₀)² = 4A(x – x₀)，(y – y₀)² = –4A(x – x₀) 应该被讨论。

从一般二次函数开始