数学归纳法

归纳法是一种证明形式，用于证明包含非封闭表达式（即，带有$n$项；序列）的方程。

解释

归纳法首先证明方程对于$n=1$成立，然后证明对于$n=k+1$成立（为证明的目的假设方程对于$n=k$成立）。由于它对于$n=k$成立，对于$n=k+1$也成立，并且对于$n=1$成立，那么它对于$n=2$成立。由此可见，它对于所有正整数$n$成立。

示例

证明级数和的公式

问：用数学归纳法证明对于所有整数$n\geq 1$，

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+3+....n)^{2}$

A

1. 当$n=1$时，$1^{3}=1={\tfrac {1}{4}}(1)^{2}((1)+1)^{2}={\tfrac {1}{4}}(4)=1$，因此它对于$n=1$成立
2. 假设该命题对于$k,k\in \mathbb {N}$成立。也就是说，假设$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\cdots +k^{3}={\tfrac {1}{4}}k^{2}(k+1)^{2}$成立。这有时被称为归纳假设。
3. 然后证明该命题对于$n=k+1$成立（即，证明$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +(k+1)^{3}={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k+2)^{2}$）。

   ${\begin{aligned}{\mbox{LHS}}&=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4+3+\cdots +k^{3}+(k+1)^{3}\\&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(k+1)^{2}+(k+1)^{3}&{\mbox{ (by the induction hypothesis)}}\\&={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k^{2}+4(k+1))\\&={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k^{2}+4k+4)\\&={\tfrac {1}{4}}(k+1)^{2}(k+2)^{2}\\&={\mbox{RHS}}\end{aligned}}$

4. 根据数学归纳法的步骤1和步骤2，该命题对于所有正整数$n$都成立。