半衰期计算

概率和确定性计算

由于半衰期计算可能是概率性的或确定性的，因此在考虑两种方法之间的区别时，必须注意，因为这两种方法在核物理、化学和医学以及商业、企业和金融领域都有广泛的应用。在两种情况下，半衰期计算都指的是一个群体中的一半成分通过连续的半衰期时间间隔从群体中消除所花费的时间。本书将解释半衰期计算的概率方法和确定性方法，并展示每种计算方法是如何应用的。

增长和衰减

在时间方面，当一个群体扩张时，它会增长，当它收缩时，它会衰减。增长或衰减的状态是通过比较当前成员计数与先前计数来确定的。如果先前计数小于当前计数，则该群体处于增长状态。如果先前计数大于当前计数，则该群体处于衰减状态。

线性增长和衰减率

有时我们需要知道一个群体增长或衰减的速率。如果已知先前计数和当前计数的时间，则可以通过从当前计数中减去先前计数来获得成员的变化量，并从当前时间中减去先前时间来获得时间变化量，然后将成员变化量除以时间变化量来确定变化率。因此，上个月的先前计数为 50，本月的当前计数为 60，这意味着每月增长 10 个成员。

指数增长和衰减率

使用上面的例子可以看出，以每月增加 10 个成员的速度，需要额外 5 个月才能将成员数量从 50 增加到 100，需要额外 10 个月才能将成员数量从 100 增加到 200，需要额外 20 个月才能将成员数量从 200 增加到 400。与其每次将月份数量加倍以获得相同的成员数量增加，不如将每月成员数量加倍。因此，如果我们将每月成员数量从 10 增加到 20，则只需额外 5 个月而不是 10 个月就能将成员数量从 100 增加到 200 个成员。如果我们接下来将每月成员数量增加到 40，则同样只需额外 5 个月而不是 10 个月就能达到 400 个成员。当成员数量在相同的时间间隔内翻倍时，可以说该群体每 5 个月翻倍，并遵循指数增长而不是线性增长。这也适用于衰减，其中在 5 个月内失去一半成员的群体被称为具有 5 个月的半衰期。在这种情况下，以及在利息瞬时复利的情况下，半衰期计算是确定性的，并且其成员的生存率不会随机变化。

确定性方法 - 复利利率

对于正在亏损的年金，如果已知账户的年龄以及账户原始价值中剩余的百分比，则可以使用以下确定性公式确定账户的半衰期：账户的半衰期等于账户的年龄乘以 2 的自然对数除以 1 除以账户剩余原始价值百分比的自然对数。（在本例中，群体由账户表示，成员由美元表示。）

${\text{Half life}}={\text{age}}*\left[{\frac {\ln \left({2}\right)}{\ln \left({\frac {1}{p}}\right)}}\right]$

然而，在某些情况下，半衰期不是确定性的，而是概率性的，旨在代表每个成员的生存率是随机的情况。换句话说，一个群体失去一半成员的速率是根据概率规律而不是根据确定性、稳定、绝对或固定数量来变化的。

概率方法 - 抛硬币

任何随机活动的半衰期，例如抛硬币，被确定为所有可能结果的一半。任何数量的可能结果都可以使用这种方法的数学或计算等效性来表示。对于具有两种可能结果或半衰期为 1 的群体，其存活概率可以用一个有两面的硬币来表示，其中一面代表存活，另一面代表终止。卡片或不同数量的球可以用来表示更多数量的可能结果。集合中的每张卡片或球都标记为“终止”，除了一个标记为“存活”的卡片或球，并将它们放入容器中。对于每次“抛掷”，只取出一张卡片或一个球，如果它标记为“存活”则计算，然后放回容器中以备下次“抛掷”。（容器和里面的东西通常在每次“抛掷”后充分摇晃。）如果使用六个球或卡片，则半衰期为三。同样，也可以通过“抛掷”每个项目并仅计算出现“存活”面的项目来考虑具有两种可能结果的多个项目。也可以使用具有多个面的多个项目。

确定抛掷的起始数量（通常为 100，但 1,500 更好），并完成第一个半衰期期间的所有抛掷，并计算存活者的数量。然后将下一个半衰期期间的抛掷次数设置为先前计算的存活者数量，并重复该过程，直到剩余的抛掷次数为零。对于每次试验重复此过程一次。

Option Explicit
Private Sub Form_Load()
Randomize
Dim a, i, j, c, n, d, e, h(), l
n = 2 'number of sides, balls or cards
l = n / 2 'number of tosses per Half-life
a = 100 'number of tosses
'----- initialize the array -------------
ReDim h(a + 1, 20)
For i = 0 To a + 1
For j = 0 To 20
h(i, j) = 0
If i = 0 Then h(i, j) = j
If j = 0 Then h(i, j) = i
Next
Next
'----- begin doing trials --------------
For j = 1 To 8 'number of trials
e = 0 ' set number of half lives to zero
a = 100 'initial number of tosses
Do 'loop until remaining tosses reach zero
e = e + 1 'count number of half lives
c = 0 'reset survival count
For i = 1 To a 'toss the number of times that equal previous survivors count
d = Int(Rnd() * n) 'flip coin or retrieve ball or card
If d <> 0 Then c = c + 1 'if coin, ball, or card survives then count it
Next
a = c 'reset number of tosses to count of survivors
h(e, j) = c 'store count in the array
'Debug.Print "Half-life:"; e; a; " tosses remaining"'verify operation
'Stop
Loop Until c <= 0
Next j
'-------- print chart ---------------
For i = 0 To 20
c = 0
For j = 0 To 8
Debug.Print h(i, j);
If j > 0 Then c = c + h(i, j)
Next
Debug.Print
If c = 0 Then Exit For
Next
'---------- end of program -------------
End
End Sub

结果

*半衰期存活率（半衰期为 1）*
半
衰	期	存活	试验 1	试验 2	试验 3	试验 4	试验 5	试验 6	试验 7
1	100.00%	100	100	100	100	100	100	100	100
2	50.00%	49	46	50	55	43	55	53	59
3	25.00%	27	17	28	23	21	26	31	29
4	12.50%	10	13	17	9	11	11	15	20
5	6.25%	3	4	9	7	4	4	7	9
6	3.13%	2	1	5	4	2	2	3	4
7	1.56%	1		2	4	2	1	2	2
8	.78%	1		2	2	1	1	1	1
9	.39%			1	1	1	1	1
10	.20%				1		1
11	.10%

试验 8

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当使用数学符号和基本的计算机源代码一起以简单而有意义的方式呈现时，半衰期的概率计算很容易理解。本示例的目的是揭示和解释半衰期计算在确定考古样本年龄中的应用。

碳 14 的半衰期为 5,730 年（正负 40 年）。这意味着在 11,460 年后，碳 14 衰变成氮 14 的放射性发射将减少到原来的四分之一，或者如上表所示，大约 25% 的碳 14 存活下来。为什么？碳 14 转换为氮 14 的速率是每 5,730 年一个半衰期，这意味着一个 5,730 年前的考古样本中的碳 14 量将只有今天产生的样本的一半。以下是以碳 14 衰变为例应用半衰期计算的结果。（注意：公式中的符号“ln”是由维基百科数学标记语言生成的，代表“对数”。由于存在自然对数和以 10 为底的对数，因此必须明确“ln”代表自然对数，而下面基本代码中的“log”也代表自然对数。）

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其中h是考古同位素的半衰期，

其中p是考古样本中同位素的百分比或比例，其中

p={\frac {1}{2^{n}}}

，并且

其中n由考古样本的年龄与同位素半衰期的比率定义

n={\frac {\text{age of archaeological sample}}{\text{half life}}}

或者

其中考古样本中同位素半衰期的数量由以下定义

n={\frac {\ln \left({\frac {1}{p}}\right)}{\ln \left({2}\right)}}

并且其中考古样本的 年龄 定义为

${\text{age}}={\text{h}}\times {\text{n}}$ ${\text{age}}={\text{h}}\times {\text{n}}$

具体来说

其中 h 是碳 14 的半衰期

h=5730\

以及

p={\frac {1}{2^{\left({\frac {11,460}{5,730}}\right)}}}

并且考古样本中碳 14 的百分比或比例为 25%

p=.25\

以及碳 14 的半衰期数量等于

那么，考古样本的年龄将是

11,460=5730*2{\text{ years}}

基本语言计算机代码

Option Explicit
Dim h As Double, p As Double, n As Double, age As Double
Private Sub Form_Load()
h = 5730
'Where h is the Half-life of Carbon 14
p = 0.25
'(where p is the percent or portion of Carbon-14 in the archaeological sample) and defined by'
'p = 1 / (2 ^ n)
'and n is defined as the number of half lives
n = log(1/p) / log(2)
'and age of the archaeological sample is defined as
age = h * n
Debug.Print "Half-life", "Percent", "Half-lives", "Age"
Debug.Print h, p, n, age
End Sub