认识论概要/逻辑原理
一个理论可以被认定为其所有原则（公理和定义）的集合，也可以被认定为其所有定理的集合，因为其定理是其原则的逻辑结果。
逻辑原理精确地决定了逻辑结果关系。因此，它们提供了制定所有理论的方法。逻辑甚至可以被视为所有理论的理论。它是所有理论家最基本工具。但它不足以构建好的理论，因为它只教导如何正确推理，而人们可以用错误的原则进行正确推理。逻辑展示了如何构建所有理论，但它本身并不能教会人们识别好的理论。
当所有断言（除了其前提之外）都是其前面断言的明显逻辑结果时，推理就是逻辑的。这样，一个逻辑推理证明了其结论是其前提的逻辑结果。逻辑原理是基本规则，它们决定了所有明显的逻辑结果关系，以及所有逻辑结果关系。
逻辑结果关系可以从逻辑可能性定义。
当且仅当不存在一个逻辑可能的世界，使得C为假而P为真时，C是前提P的逻辑结果。
如果前提为真，则逻辑结果不可能为假。逻辑结果关系必然地从真到真。
要定义一个逻辑可能的世界，我们需要为自身提供基本属性和关系，以及一个我们可以赋予这些属性和关系的个体集合。一个语句是原子性的，当它断言一个个体的基本属性或几个个体之间的基本关系。原子语句不能分解成更小的语句。任何原子语句集合都确定了一个逻辑可能的世界，对于这个逻辑可能的世界，所有这些原子语句都是真的，也是唯一真实的原子语句（Keisler 1977）。原子语句集合永远不会矛盾，因为原子语句不包含否定。
从逻辑可能世界的概念中定义逻辑结果关系，使得可以理性地证明所有逻辑原理。因此，通过原子语句集合来定义逻辑可能的世界，是所有逻辑的基础。
关于逻辑可能世界的语句是由原子语句和逻辑连接词组成的。主要的逻辑连接词是否定**不是**，析取**或**，合取**和**，条件**如果那么**，全称量词**对所有x**或**每一个x都是这样的**，以及存在量词**存在一个x使得**。
当一个语句由原子语句和逻辑连接词组成时，其真值只取决于所考虑的逻辑可能世界，因为复合语句的真值只取决于其组成的语句的真值。
由否定、析取、合取和条件组成的语句的真值由真值表决定。
| p | 非p |
|---|---|
| 真 | 假 |
| 假 | 真 |
| p | q | p 或 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | p 和 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | 如果 p 那么 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 真 |
表达式**如果那么**通常理解为具有必要结果的隐含意义。**如果p那么q**意味着由于某种原因，**q**是**p**的必要结果。条件的真值表赋予它更广泛的意义：**永远没有p没有q**。例如，根据这个真值表，如果地球是静止的，那么2+2=5是一个真命题。这意味着地球永远不会静止，除非2+2=5。由于地球永远不会静止，因此这个命题总是真的。
由全称量词和存在量词组成的语句的真值由以下两条规则决定
对所有x，p(x)为真，当所有从p(x)中得到的语句p(i)都为真时，这些语句是从p(x)中得到的，方法是在p(x)中所有出现x的地方用一个个体i的名称替换x，否则为假。
存在一个x使得p(x)为真，当至少一个从p(x)中得到的语句p(i)为真时，这些语句是从p(x)中得到的，方法是在p(x)中所有出现x的地方用一个个体i的名称替换x，否则为假。
为了应用这两条规则，我们用来构成原子语句的个体域必须被确定。这对集合论来说是一个问题，因为我们无法确定所有集合的域。
在语句对所有x，E(x)或存在一个x使得E(x)中，变量x被量词对所有x或存在一个x使得绑定。当一个变量没有被绑定时，它在一个语句中是自由的。
一阶逻辑只允许对个体域进行量化。我们也可以对所有概念（属性和关系）的域进行量化，从而定义二阶逻辑。但将概念视为个体足以在一阶逻辑的框架内重新表述二阶逻辑。这就是为什么一阶逻辑是最基本的，也是本章中唯一考虑的逻辑。
否定、合取、析取、条件、以及存在量词和全称量词是最基本的逻辑连接词。但其他一些连接词也很重要：双条件**当且仅当**，异或或替代**要么要么**，Sheffer连接词**既不也不**...
| p | q | p 当且仅当 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
双条件非常常用。特别是，定义是用双条件来制定的：被定义的表达式为真，当且仅当定义表达式也为真。
| p | q | 要么 p 要么 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
为了区分它与异或，普通析取被称为包含：p或q或两者。
| p | q | 既不 p 也不 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
所有逻辑结果关系都可以用少量基本演绎规则从琐碎的逻辑结果（显然是重言式）中产生，这些逻辑结果由重复规则给出
任何包含在前提列表P中的前提都是前提P的逻辑结果。
对于每个逻辑连接词，都有两个基本的演绎规则，一个消去规则和一个引入规则（Gentzen 1934，Fitch 1952）。逻辑看起来像一个积木游戏。人们通过引入和消去逻辑连接词来组合和分解语句。
我们用逻辑结果的传递性规则来补充这些规则
如果C是前提Q的逻辑结果，并且所有前提Q都是前提P的逻辑结果，那么C是前提P的逻辑结果。
基本演绎规则是直观的，只要人们理解逻辑结果和可能性以及复合语句的真值从原子语句的真值中决定的概念。人们可以用逻辑可能世界的概念来定义逻辑结果关系，从而严格地证明这些直觉的真实性。
重复规则、传递规则和基本演绎规则可以被视为逻辑原理的原理，因为它们足以证明所有其他逻辑原理。
我们稍后将证明，三个（甚至两个）逻辑连接词就足以定义所有其他逻辑连接词。因此，六条（甚至四条）基本推演规则就足以产生所有逻辑蕴含关系，包括重复规则和传递规则。例如，可以选择否定、合取和全称量词作为基本逻辑连接词。其他逻辑连接词的所有推演规则都可以从这三个基本连接词的六条规则推导出来。
理论的陈述是由其基本概念（属性或关系）、个体名称和逻辑连接词构成的。个体名称是常量或变量，可以用函数构造。例如，**x+y** 是用加法函数和变量 **x** 和 **y** 构成的个体名称。常量是本身就属于某个个体的名称。变量是一个有些矛盾的名称。它是一个个体名称，但没有命名任何特定的个体。它用来命名任何个体，而不指定是哪个个体，在一个特定的域中。
逻辑规则说明，一个陈述是其他陈述的逻辑蕴含。当它们包含自由变量（个体、属性、关系、函数、陈述或有限陈述列表的变量）时，它们为真当且仅当它们在所有自由变量被常量替换的情况下为真。
特殊化规则
如果 **i** 是一个个体，则 **S(i)** 是 **对所有 x，S(x)** 的逻辑蕴含。
**x** 可以是任何个体变量。**i** 可以是任何个体名称：常量、变量或复合表达式。**S(i)** 是从 **S(x)** 中获得的陈述，通过将 **i** 替换 **S(x)** 中 **x** 的所有出现。
这条规则是所有逻辑中最重要的一条，因为推理的力量来自于我们用它推理的定律。每当我们将一条定律应用于一个个体时，我们就会了解该定律教给我们的东西，并揭示它赋予我们的推理能力。
概括规则
如果 **S(x)** 是前提 P 的逻辑蕴含，并且 **x** 是前提中未提到的个体变量，则 **对所有 x，S(x)** 是相同前提的逻辑蕴含。
在这条规则以及后面的规则中，*P* 是一个有限的陈述列表。
这条规则的一个应用例子是哲学上的或笛卡尔的*我*。人们可以不针对被命名个体做任何特定的假设就说*我*。因此，所有关于自我的陈述都可以应用于所有个体。例如，如果一个人在不针对自身做任何特定的假设的情况下，证明了*我不能怀疑我在怀疑时我在怀疑*，那么就可以推导出*没有人可以怀疑他们在怀疑时他们在怀疑*。
分离规则
**B** 是两个前提 **A** 和 **如果 A 则 B** 的逻辑蕴含。
假设合并规则
如果 **B** 是前提 P 和 **A** 的逻辑蕴含，则 **如果 A 则 B** 是前提 P 的逻辑蕴含。
归谬法原理
如果 **B** 和 **非 B** 都是前提 P 和 **A** 的逻辑蕴含，则 **非 A** 是前提 P 的逻辑蕴含。
双重否定消去规则
**A** 是 **非非 A** 的逻辑蕴含。
分析规则
**A** 和 **B** 都是唯一前提 **A 且 B** 的逻辑蕴含。
合取的合成规则
**A 且 B** 是两个前提 **A** 和 **B** 的逻辑蕴含。
论题弱化规则
**A 或 B** 和 **B 或 A** 都是 **A** 的逻辑蕴含。
析取的合成规则
如果 **C** 是前提 P 和 **A** 的逻辑蕴含，并且是前提 P 和 **B** 的逻辑蕴含，则 **C** 是前提 P 和 **A 或 B** 的逻辑蕴含。
直接存在性证明规则
如果 **i** 是一个个体，则 **存在一个 x 使得 S(x)** 是 **S(i)** 的逻辑蕴含。
**i** 可以是任何个体名称：常量、变量或复合表达式。**S(x)** 是通过将 **x** 替换 **S(i)** 中 **i** 的某些（不一定全部）出现而获得的公式。**x** 必须是一个在 **S(i)** 中未提到的个体变量。
引入新常量规则
如果 **c** 是一个新的个体常量，则 **S(c)** 是 **存在一个 x 使得 S(x)** 的逻辑蕴含。
**c** 不应出现在前面的公理或公式中。**S(c)** 是从 **S(x)** 中获得的，通过将 **c** 替换 **S(x)** 中 **x** 的所有出现。
关于函数逻辑的备注：理论中的函数总是可以用关系表示。例如，一个带一个参数的函数 **f** 可以用二元关系 **R** 表示：**Rxy 当且仅当 f(x)=y**。一个带两个参数的函数 **f** 可以用三元关系 **R** 表示：**Rxyz 当且仅当 f(x,y)=z**。当然，对于带更多参数的函数也是如此。函数也称为运算符。通过用它们定义的关系替换函数，始终可以将一个用函数定义的结构与一个仅用关系定义的等效结构相关联。这就是为什么在逻辑可能世界定义中不需要提及函数的原因。我们可以在没有函数的情况下进行推理，只用关系逻辑推理。但是，用允许函数的理论推理通常更方便。前面的规则是按照这样的方式制定的，使得它们对于纯关系逻辑和函数逻辑都是有效的。唯一的区别在于个体名称的构成。如果我们没有函数，个体名称是变量或基本常量。我们甚至可以通过将基本常量用属性表示来省略基本常量：常量 **c** 用属性 **P** 表示：**Px 当且仅当 x=c**，这仅对 **c** 为真。如果我们以这种方式进行，个体总是用变量命名。
无假设推理和逻辑定律
[edit | edit source]即使在开始时没有做出任何假设，基本推演规则也可以应用。假设合并规则和归谬法原理使从假设下的推理过渡到无假设推理成为可能。
无假设推理的结论是普遍的逻辑真理，无论它们所提及的概念的解释如何，总是为真，除了逻辑连接词的解释。它们被称为逻辑定律或重言式。
逻辑定律的一些例子
纯粹的重言式：**如果 p 则 p**
由于根据重复规则，**p** 是 **p** 的逻辑蕴含，因此根据假设合并规则，**如果 p 则 p** 是逻辑定律。
非矛盾律：**非 (p 且 非 p)**
根据分析规则，**p** 和 **非 p** 都是 **p 且 非 p** 的逻辑蕴含，因此根据归谬法原理，**非 (p 且 非 p)** 是逻辑定律。
排中律：**p 或 非 p**
一个意义完全确定的陈述 **p** 必然为真或为假。不存在第三种可能性。
要呈现一个证明，总是需要指定一个结论依赖的假设。向右移位规则使方便地呈现形式证明成为可能：当我们引入一个新的假设时，我们将它移到右边。一个结论只依赖于它上面或它左边的假设，而不依赖于它右边的假设。
假设排中律可能是假的
- (1) 假设：**非 (p 或 非 p)**
- (2) 假设：**p**
- (3) 根据 (2) 和论题弱化规则，**p 或 非 p**。
- (4) 根据 (1) 和重复规则，**非 (p 或 非 p)**。
- (5) 根据 (2)、(3)、(4) 和归谬法原理，**非 p**。
- (6) 根据 (5) 和论题弱化规则，**p 或 非 p**。
- (7) 根据 (1) 和重复规则，**非 (p 或 非 p)**。
(8) 根据 (1)、(6)、(7) 和归谬法原理，**非非 (p 或 非 p)**。
根据 (8) 和双重否定消去规则，**p 或 非 p**。
基本选择：**要么 p，要么 非 p**
它是非矛盾律和排中律的合取。任何意义完全确定的陈述都是真的或假的，但不能同时为真和假。当一个陈述既为真又为假，或者既不为真也不为假时，它的意义就不是完全确定的：在一个意义上它是真的，在另一个意义上它是假的，或者它既不为真也不为假，因为没有任何东西能确定它。
斯多葛派发现的一个定律：**如果 (如果 非 p 则 p) 则 p**
例如：如果一切都是假的，那么有些东西是真的（因为一切都是假的会是真），因此有些东西是真的。
- (1) 假设：**如果 非 p 则 p**
- (2) 假设：**非 p**
- (3) 根据 (1) 和 (2) 以及分离规则，**p**。
- (4) 根据 (2) 和重复规则，**非 p**。
- (5) 根据 (2)、(3)、(4) 和归谬法原理，**非非 p**。
- (6) 根据 (5) 和双重否定消去规则，**p**。
根据 (1)、(6) 和假设合并规则，**如果 (如果 非 p 则 p) 则 p**。
所有推演规则，无论是基本的还是推导的，都可以翻译成逻辑定律，因为如果 C 是前提 P 的逻辑蕴含，则 **如果 P 的合取则 C** 是逻辑定律。例如，**如果 (A 且 如果 A 则 B) 则 B** 是一个翻译分离规则的逻辑定律。
逻辑蕴含的推导
[edit | edit source]基本推演规则足以推导出所有逻辑蕴含关系和所有逻辑定律。这就是一阶逻辑的完备性定理，由库尔特·哥德尔在他博士论文中证明（哥德尔 1929，他在一篇不同的但等价的形式系统上进行了推理）。因此，基本推演规则是解决亚里士多德提出但未解决的旧问题的完整解决方案，即找到所有逻辑原理的列表。
例如，让我们证明 **如果 A 则 C** 是 **如果 A 则 B** 和 **如果 B 则 C** 的逻辑蕴含。
(1) 假设：**如果 A 则 B**，**如果 B 则 C**
- (2) 假设：**A**
- (3) 根据 (1)、(2) 和分离规则，**B**。
- (4) 根据 (1)、(3) 和分离规则，**C**。
根据 (2)、(4) 和假设合并规则，**如果 A 则 C**。
另一个例子是逆否规则：**如果 非 q 则 非 p** 是 **如果 p 则 q** 的逻辑蕴含。
(1) 假设：**如果 p 则 q**
- (2) 假设：**非 q**
- (3) 假设：**p**
- (4) 根据 (1)、(3) 和分离规则，**q**。
- (5) 根据 (2) 和重复规则，**非 q**。
- (6) 非 p 根据 (3)、(4)、(5) 和归谬法。
如果非 q 则非 p 根据 (2)、(6) 和假设合并规则。
逻辑连接词可以相互定义。例如，存在量词可以从全称量词和否定定义。
存在一个 x 使得 p 意味着 所有 x 都不满足非 p 是假的，换句话说，非（对所有 x 来说非 p）。
我们也可以采用相反的定义
对所有 x 来说，p 意味着 不存在一个 x 使得非 p 是假的，也就是 非（存在一个 x 使得非 p）。
同样，我们可以从合取定义析取，或者反之
p 或 q 意味着 非（非 p 且 非 q）
p 且 q 意味着 非（非 p 或 非 q）
条件连接词可以从合取或析取定义
如果 p 则 q 意味着 非（p 且 非 q）
如果 p 则 q 也意味着 q 或 非 p
双条件连接词 当且仅当 可以从条件连接词和合取定义
p 当且仅当 q 意味着 （如果 p 则 q）且（如果 q 则 p）
它也可以从其他连接词定义
p 当且仅当 q 意味着 （p 且 q）或（非 p 且 非 q）
或
p 当且仅当 q 意味着 非（（p 且 非 q）或（非 p 且 q））
也可以引入逻辑连接词 既不也不 并从它定义所有其他连接词
非 意味着 既不 p 也不 p
p 且 q 意味着 既不 非 p 也不 非 q
p 或 q 意味着 非（既不 p 也不 q）
如果 p 则 q 意味着 非（既不 非 p 也不 q）
p 当且仅当 q 意味着 既不（p 且 非 q）也不（非 p 且 q）
当推理是逻辑的时，结论不能提供比前提已经给出的更多信息。否则，推理就不是逻辑的，因为结论在前提为真的情况下可能是假的。逻辑结论总是对前提中已经说过的内容的重新表述。实际上，许多论证毫无意义，因为结论只是前提的重复，只是形式略有不同。我们称它们为同义反复。它们是“因为它就是如此，所以它是如此”这一主题的变奏。
在逻辑学家定义的精确意义上，同义反复是逻辑规律，这些规律总是为真，无论给它们的词语（除逻辑连接词外）赋予什么样的解释。当推理是逻辑的时，语句“如果前提为真则结论为真”总是同义反复，正如逻辑学家所定义的那样。
结论只是在重复前提中已经说过的内容。推理必须是同义反复才能是逻辑的。但为什么我们要推理呢？似乎推理并没有教给我们任何东西。
推理的力量来自于它所基于的一般原则。如果我们将逻辑简化为基本的命题逻辑（基于所有逻辑原则，除了那些包含全称量词和存在量词的原则），一种语句从来不普遍的逻辑，因为我们没有全称量词，那么，是的，我们推理的同义反复特征通常非常明显。当它不明显时，只是因为我们的逻辑直觉有限。命题逻辑主要用于改写我们的断言。这非常有用，因为理解依赖于表达，但这并不能解释为什么推理能让我们知道我们不知道的事情。
一个语句是规律，当它可以应用于许多具体情况时。它总是可以用以下方式表达
对于 D 中的所有 x，S(x)
换句话说
对于所有 x，如果 x 在 D 中，则 S(x)
D 是规律的范围。S(x) 是关于 x 的一个语句。
所有形式为 S(i) 的语句，其中 i 是 D 中元素的名称，S(i) 是通过将 i 替换到 S(x) 中的 x 处得到的语句，都是规律的显而易见的逻辑结果。S(i) 是规律的一个特例。
当我们学习一个规律时，我们最初只知道一个或几个特例。我们不可能考虑所有特例，因为它们太多了。每当我们将已知规律应用于一个我们以前没有考虑过的特例时，我们就会学到一些东西。
规律就像浓缩的信息。在一个语句中，它确定了可以应用于所有特例的大量信息。当我们用规律推理时，我们发现的东西不是在前提中说出来的，而只是隐含在其中的。推理使我们能够发现规律可以教给我们的所有东西。
我们通过验证逻辑推理是否符合逻辑原则来识别它。但我们如何识别逻辑原则？我们如何知道它们是好的原则？如何证明它们？我们真的确定它们总是能从真前提得出真结论吗？
利用复合语句真值的定义原则，可以证明我们的逻辑原则为真，因为它们总是能从真到真。例如，只需对条件连接词的真值表进行推理，就可以证明分离规则的真值。
怀疑论者可能会反对说，这些对逻辑原则的证明毫无价值，因为它们是循环的。当我们对逻辑原则进行推理来证明它们时，我们使用的是我们需要证明的相同的原则。如果我们的原则为假，那么它们就会证明假命题，因此它们可以证明自身的真值。因此，逻辑原则使我们能够证明它们的真值，并不能真正证明它们的真值，因为假原则也可以做到这一点。
这种反对意见并不具有说服力。我们只需看看被怀疑的循环证明，就会确信它们的有效性，仅仅因为它们是优秀且无可辩驳的。没有疑问，因为一切都清楚地定义和证明。怀疑论者可以正确地指出，这种证明只能说服那些已经被说服的人。但在这方面，说服并不难，因为逻辑原则只是将我们在正确推理时已经知道的东西公式化。
逻辑原则的循环性在特殊化规则中尤为明显
对于任何语句 S(x) 和任何个体 i，S(i) 是 对于所有 x 来说，S(x) 的逻辑结果。 (1)
例如，如果苏格拉底是人，那么苏格拉底是凡人 是 对于所有 x 来说，如果 x 是人，那么 x 是凡人 的逻辑结果。(2)
要从 (1) 到 (2)，特殊化规则被应用了两次。语句 S(x) 被特殊化为 如果 x 是人，那么 x 是凡人，个体 i 被特殊化为 苏格拉底。
借助分离规则，我们可以从 A 和 如果 A 则 B 推导出 B。因此，更完整的规则应该是，我们可以从 A、如果 A 则 B 和分离规则推导出 B。但这项规则还不完整。更完整的规则，但仍然不完整，是我们可以从 A、如果 A 则 B、分离规则和告诉我们我们可以从 A、如果 A 则 B 和分离规则推导出 B 的规则推导出 B。但一定还有另一条规则告诉我们如何应用前一条规则，如此一直到无穷大（卡罗尔，1895）。
如果分离规则本身是一个必须在我们的证明中提到的假设，并且我们的结论是从它推导出来的，那么我们的推理将永远无法开始，因为需要第二条规则来证明从分离规则中推导出的结论，然后是第三条规则来证明从第二条规则中推导出的结论，如此一直到无穷大。但逻辑规律不是假设。我们总是可以将它们作为前提，而无需任何其他证明，除了它们是逻辑规律，因为它们不可能是假的，因为它们不可能导致我们犯错。
概念绑定问题（两个概念是否指代同一个个体或不同的个体？）可以通过识别概念所归属的个体来解决。但是，同一个存在物的名称多样性带来了新的问题：当两个概念分别归属给 x 和 y 时，它们是否因为归属给同一个个体而绑定？如果 x = y，则它们绑定；如果 x 与 y 不同，则它们不绑定。
x=y 表示 x 和 y 是同一个存在物的名称。当我们无法从名称的多样性推断存在物的多样性时，我们需要身份关系，因为同一个存在物可以用多种方式命名。
了解同一个存在物的名称多样性，可以让我们从复合名词中了解很多关于它的信息。亚里士多德是柏拉图最好的学生，意味着亚里士多德 = 柏拉图最好的学生。 “柏拉图最好的学生” 是亚里士多德的众多名字之一。
“最好的学生” 是一个函数的名称，它将老师与其最好的学生联系起来。总的来说，我们通过给予存在物简单名称和由函数组成的名称来命名它们。
身份逻辑的基本规则
[edit | edit source]了解 x=y 表示 x 和 y 是同一个存在物的名称，那么身份的反射性原则 x=x，对称性原则 如果 x=y 则 y=x，传递性原则 如果 x=y 且 y=z 则 x=z，以及同一律，都是根据定义成立的。
如果 x=y，则所有关于 x 的真命题也适用于 y。
如果 E(x) 且 x=y 则 E(y)
对于关于 x 的任何命题 E(x)。
同一律使我们能够证明传递性原则。通过用 w=z 代替 E(z)，我们得到
如果 w=x 且 x=y 则 w=y
它也可以用来从反射性原则推导出对称性原则，方法是用 z=x 代替 E (z)
如果 x=x 且 x=y 则 y=x
或者 x=x
所以
如果 x=y 则 y=x
x=x 可以从两个角度理解：一个存在物总是与自身相同，或者一个名称 x 总是指代同一个存在物。
自然可能世界中个体的身份
[edit | edit source]当我们推理我们可用的可能性时，我们推理的是实际存在物（包括我们自己）的自然可能的排列。因此，我们在包含同一个存在物的不同可能世界中推理。同一个个体虚拟地存在于许多可能世界中。
当有人争论绝对可能性时，在不同的世界中识别同一个个体就没有多大意义。例如，如果一个人对两个不同的物质宇宙进行推理，那么说一个宇宙中的一个点或一个粒子与另一个宇宙中的一个点或一个粒子相同就没有意义。虽然我设想我可能会有其他命运，但其他版本的我也永远不是真正的我。我不对他们的虚拟行为负责。
一个自然存在物只存在于一个自然可能的世界上。对我们来说，这个世界就是现实世界。但是，一个自然存在物的本质是由它的自然属性决定的，而自然属性的本质是由它们在所有自然可能的世界上所处的位置决定的。这就是为什么一个自然存在物的本质是由它在所有自然可能的世界上所处的位置决定的，即使它只存在于一个自然可能的世界上。
对同一个存在物在多个自然可能的世界上进行的推理，总是可以用对具有相同自然属性的不同存在物的推理来代替（Lewis 1986，但他的可能世界理论不同）。
属性和关系的身份
[edit | edit source]一个属性或一个自然关系是由它在所有自然可能的世界上所处的位置决定的，因此是由它在定义自然规律的公理体系中所处的位置决定的。
更一般地，一个属性或一个理论关系是由它在定义一个理论的公理体系中所处的位置决定的。
在所有自然可能的世界上，对于同一个存在物都为真的两个自然属性，占据相同的位置。因此，它们本质上是同一个属性。对于自然关系也是一样。因此，我们证明了属性和自然关系的外延性原则。
两个属性或自然关系相同，当且仅当它们在所有自然可能的世界上都对同一个存在物为真。
对于理论属性和关系，得到相同的扩展性原则。
两个属性或理论关系相同，当且仅当它们在该理论的所有模型中都对同一个存在物为真，也就是说，在所有公理为真的逻辑可能的世界上都为真。
同构和结构的身份
[edit | edit source]当我们谈论两个个体之间的相似性时，我们的意思是，归属给其中一个的某些属性也可以归属给另一个。当我们谈论两个系统之间的相似性时，“对一个系统为真的，对另一个系统也同样为真”这个表达可以得到更微妙的含义。我们的意思是存在一个投影 f，它可以将第一个系统中的个体 x 替换为第二个系统中的个体 f(x)，从而使关于第一个系统的真命题被替换为关于第二个系统的真命题。这种投影在数学中被称为态射，如果它是双射的，则称为同构，表示这两个系统具有相同的形式或相同的结构。
当前对结构概念的使用存在歧义。结构有时指代对象，即系统，有时指代它的属性。结构本身也有结构。从逻辑的角度来看，作为对象的结构是一个逻辑可能的 world 或者它的一个部分。作为属性的结构可以从等价关系 x 与 y 具有相同的结构来定义。这种等价关系可以用同构概念来定义
两个结构（或两个系统）具有相同的结构，当且仅当它们是同构的。
两个结构 E 和 F 之间的同构是一个双射函数 f，它将 E 的个体替换为 F 的个体，从而保留所有基本属性和关系。形式上
如果 P 是一个基本属性，对于 E 中的所有 x，x 具有属性 P 当且仅当 f(x) 具有属性 P。
如果 R 是一个基本二元关系，对于 E 中的所有 x 和 y，xRy 当且仅当 f(x)Rf(y)
对于更多项之间的基本关系也是一样。
（E 的元素和 F 的元素之间的关系，当 E 的每个元素都与 F 的一个元素连接时，定义了 E 到 F 的一个映射。当 F 的每个元素都与 E 的一个元素连接时，E 到 F 的一个映射是双射的。换句话说，双射函数是一个映射，它的逆也是一个映射。）
两个结构之间的同构使得将关于其中一个的所有真命题转换为关于另一个的真命题成为可能，方法是将 x 处处替换为 f(x)。当两个结构是同构的时，它们是同一个理论的模型。一个为真的公理体系必然在另一个中也是真的。
一个复杂的自然存在物是一个自然结构，由自然属性和关系定义。两个同构的复杂自然存在物本质上是相似的，自然上不可区分。它们具有相同的自然属性。一个自然可能的任何事情，对另一个也自然可能。一个复杂自然存在物的本质是它的结构。两个同构的复杂自然存在物具有相同的本质。
同构的概念通常以更一般的方式定义。双射函数 f 不仅允许替换个体，还允许替换属性和关系，始终以使关于一个系统的所有真命题被替换为关于另一个系统的真命题的方式。当用这种方式定义系统之间的相似性时，通常说相似的系统是类似的，而投影 f 是一个类比。同构可以定义为一个双射类比。
我们也可以以更一般的方式定义结构的概念
两个结构具有相同的结构，当且仅当它们是同一个理论的模型。
根据第二个定义，作为属性的结构由一个理论的公理决定。更准确地说，不同的公理体系定义相同的结构，当且仅当它们具有相同的模型，当一个体系的任何模型都是另一个体系的模型时。
一个理论是范畴的，当且仅当它的所有模型都是同构的。数学的基本结构，特别是自然数集和实数集，用范畴理论来决定。一个范畴理论禁止任何偶然性。本质上只有一个逻辑可能的 world 服从它的原则。自然规律并不决定一个自然界的范畴理论。它们为偶然性留下了空间。
当一个理论不是范畴性的时，不同的、非同构的结构或系统可能具有相同的结构，如该理论所定义的。例如，我们可以说所有向量空间都具有向量空间结构。
结构 E 的自同构是内部同构，是从 E 到 E 的同构。
每个结构都有一个平凡的自同构，即由 id(x)=x 定义的恒等函数。
一个结构在它至少有一个非平凡的自同构时是对称的。
非平凡的自同构是结构的对称性。
结构的自同构形成一个群，在代数意义上，因为自同构的逆是自同构，并且因为两个自同构的复合也是自同构。
结构的所有自同构的群也称为其对称群。例如，圆形或圆盘的对称群是绕其中心旋转和相对于直径反射的群。
当存在一个自同构 g 使得 y=g(x) 时，x 和 y 在结构中本质上是无法区分的，因为关于一个的任何真值都可以转化为另一个的等价真值。
对称结构中元素 x 的等价类或轨道是满足 y=g(x) 的所有 y 的集合，其中 g 是结构的自同构。
等价类是在结构中本质上无法区分的元素的集合。例如，圆上的所有点都属于同一个等价类，因为圆上没有任何东西可以区分它们。圆盘上距中心相同距离的所有点也属于同一个等价类，但不同的同心圆是不同的等价类，因为这些点通过它们到中心的距离来区分。
一个结构在它包含不同的但本质上无法区分的元素时是对称的，因为它们的性质和它们在结构中的关系决定了不同的但等价的位置。
一个自然结构在它包含自然无法区分的元素，并且这些元素在结构中的关系使它们具有等价的位置时是完全对称的。
一个自然结构在它包含自然非常相似的元素，并且这些元素在结构中的关系使它们具有等价或几乎等价的位置时是不完全对称的。
当一个结构包含许多组成部分时，它越对称，就越容易认识它，因为一旦我们认识了一个对称部分，我们就会认识所有对称部分。
.jpg)
所有数学知识都可以被视为关于逻辑上可能世界的知识。
当矛盾 p 且非 p 不是其公理的逻辑结果时，一个理论是一致的，或非矛盾的，或连贯的。否则它是不一致的，矛盾的，不连贯的，荒谬的。
逻辑上可能世界的真理论必然是一致的，因为矛盾在所有逻辑上可能的世界中都是假的。
一个一致的理论至少对一个逻辑上可能的世界是真实的。这就是哥德尔完备性定理。如果我们发现一个必然为假的理论，即在所有逻辑上可能的世界中都是假的，而不能证明其公理会导致矛盾，这将表明我们的逻辑是不完备的，它不足以证明所有必要的逻辑真值。但哥德尔在他的博士论文中证明了我们的逻辑是完备的（哥德尔 1929）。
我们通过反思自己的词语来发展数学知识。逻辑上可能的世界是由词语定义的，具有原子陈述的集合。了解这些世界就是了解定义它们的词语。数学世界仅仅是我们定义的东西。没有什么隐藏起来，因为它们是我们的作品。我们可以了解它们的一切，因为我们决定了它们是什么。
数学真理是发明还是发现？
两者都是，因为发明总是发现一种可能性。
当我们发明时，我们改变了现实，但我们没有改变所有可能性空间。无论我们做什么，可能的东西都是可能的。我们经常采取行动，使以前不太容易获得的东西变得容易获得，但这绝不是关于使不可能的东西变得可能，我们只是改变了相对于我们当前状况的可能性。当我们使可能的东西变得不可能时，这些仍然是相对的可能性。无论逻辑上还是自然上，绝对可能性空间都不依赖于我们。
当我们发展数学知识时，我们发现了一种言语的可能性。
我们通过对自己的词语进行推理来获得关于有限结构的数学知识，因为这些结构是由原子陈述的有限集合定义的。
关于无限数学结构的知识更难理解。它们是由原子陈述的无限集合定义的。我们从它们的有限定义中了解这些无限集合。两个过程对于定义无限集合是基本的
- 递归构造
我们给自己一些初始元素和规则，这些规则使我们能够从初始元素或已经生成的元素中生成新元素。例如，我们可以从单个初始元素 1 开始，并使用从 x 和 y 生成 (x + y) 的规则。然后，通过说它是包含所有初始元素和通过有限次应用规则生成的元素的唯一集合来定义无限集合：(1+1)，((1+1)+1)，((1+1)+(1+1)) ...
- 所有子集的集合的定义
一旦定义了集合 x，幂集公理就允许我们定义包含 x 中所有包含集合的唯一集合。如果 x 是一个无限集合，那么 x 的所有子集的集合是一个更大的无限集合。