认识论概要/逻辑原理
一个理论可以被认定为其所有原则（公理和定义）的集合，也可以被认定为其所有定理的集合，因为其定理是其原则的逻辑结果。
逻辑原理精确地决定了逻辑结果关系。因此，它们提供了制定所有理论的方法。逻辑甚至可以被认为是所有理论的理论。它是所有理论家最基本的工具。但它不足以制定好的理论，因为它只教导如何正确推理，而一个人可以用错误的原则进行正确的推理。逻辑展示了如何制定所有理论，但它本身并不教导如何识别好的理论。
一个推理是逻辑的，当它所有断言，除了它的前提之外，都是它之前断言的明显逻辑结果。这样，一个逻辑推理证明了它的结论是其前提的逻辑结果。逻辑原理是决定所有明显逻辑结果关系的基本规则，由此决定所有逻辑结果关系。
逻辑结果关系可以从逻辑可能性定义。
C 是前提 P 的逻辑结果，当且仅当不存在这样一个逻辑可能世界，在这个世界中 C 是假的，而 P 是真的。
如果前提为真，逻辑结果不可能为假。逻辑结果关系必然从真引导到真。
为了定义一个逻辑可能世界，我们给自己一些基本性质和关系，以及一组我们可以将这些性质和关系归属的个体。一个语句是原子语句，当它断言一个个体的基本性质或多个个体之间的基本关系。一个原子语句不能分解成更小的语句。任何原子语句集合都决定了一个逻辑可能世界，在这个世界中它们都是真的，也是唯一真实的原子语句（Keisler 1977）。原子语句集合从不矛盾，因为原子语句不包含否定。
从逻辑可能世界的概念定义逻辑结果关系，使得能够理性地证明所有逻辑原理。因此，通过原子语句集合定义逻辑可能世界是所有逻辑的基础。
关于逻辑可能世界的语句是由原子语句与逻辑连接词组成的。主要的逻辑连接词是否定 **非**，析取 **或**，合取 **和**，条件句 **如果那么**，全称量词 **对所有 x**，或 **每个 x 都满足**，以及存在量词 **存在一个 x 使得**。
当一个语句由原子语句与逻辑连接词组成时，它的真值只取决于所考虑的逻辑可能世界，因为一个复合语句的真值只取决于构成它的语句的真值。
由否定、析取、合取和条件句组成的语句的真值由真值表决定
| p | 非 p |
|---|---|
| 真 | 假 |
| 假 | 真 |
| p | q | p 或 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | p 和 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 假 |
| p | q | 如果 p 那么 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 真 |
表达式 **如果那么** 通常被理解为具有隐含的必要结果含义。**如果 p 那么 q** 意味着，出于某种原因，**q** 是 **p** 的必要结果。条件句的真值表赋予它更广泛的含义：**决不 p 而不 q**。例如，根据这个真值表，如果地球是静止的，那么 2 + 2 = 5 是一个真语句。这意味着 地球决不静止而不 2 + 2 = 5。由于地球决不静止，所以这个语句始终为真。
由全称量词和存在量词组成的语句的真值由以下两条规则决定
对所有 x，p(x) 为真，当所有从 p(x) 中获得的语句 p(i) 为真时，这些语句是从 p(x) 中获得的，通过在 p(x) 中所有出现的 x 处用一个个体的名称 i 替换；否则为假。
存在一个 x 使得 p(x) 为真，当至少有一个从 p(x) 中获得的语句 p(i) 为真时，这些语句是从 p(x) 中获得的，通过在 p(x) 中所有出现的 x 处用一个个体的名称 i 替换；否则为假。
为了应用这两条规则，必须确定我们用其形成原子语句的个体域。这对集合论来说是一个问题，因为我们无法确定所有集合的域。
在语句 对所有 x，E(x) 或 存在一个 x 使得 E(x) 中，变量 x 被量词 对所有 x 或 存在一个 x 使得 绑定。当一个变量没有被绑定时，它在一个语句中是自由的。
一阶逻辑只允许对个体域进行量化。我们也可以对所有概念（性质和关系）的域进行量化，从而定义二阶逻辑。但足以将概念视为个体，以在一阶逻辑框架内重新表述二阶逻辑。这就是为什么一阶逻辑是最基本的，也是本章中唯一考虑的逻辑。
否定、合取、析取、条件句以及存在量词和全称量词是最基本的逻辑连接词。但还有一些其他的逻辑连接词也很重要：双条件句 **当且仅当**，异或，或选择，**要么要么**，谢弗连接词 **既不也不** ...
| p | q | p 当且仅当 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
双条件句非常常用。特别是，定义是使用双条件句制定的：被定义表达式为真，当且仅当定义表达式也为真。
| p | q | 要么 p 要么 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 真 |
| 假 | 真 | 真 |
| 假 | 假 | 假 |
为了与异或区分，普通析取被称为包含或：p 或 q 或两者兼而有之。
| p | q | 既不 p 也不 q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 假 |
| 真 | 假 | 假 |
| 假 | 真 | 假 |
| 假 | 假 | 真 |
所有逻辑结果关系都可以通过从微不足道的逻辑结果（明显是重言式）中使用少量基本演绎规则来产生，这些逻辑结果由重复规则给出
前提列表 P 中包含的任何前提都是前提 P 的逻辑结果。
对于每个逻辑连接词，都有两个基本演绎规则，一个消去规则和一个引入规则（Gentzen 1934, Fitch 1952）。逻辑看起来像一个积木游戏。人们通过引入和消去逻辑连接词来组合和分解语句。
我们用逻辑结果的传递性规则来补充这些规则
如果 C 是前提 Q 的逻辑结果，并且前提 Q 都是前提 P 的逻辑结果，那么 C 是前提 P 的逻辑结果。
基本演绎规则是直观上明显的，只要一个人理解了逻辑结果和可能性的概念，以及从原子语句的真值确定复合语句的真值。人们可以用逻辑可能世界的概念定义逻辑结果关系，严格证明这些直观的正确性。
重复规则、传递性规则和基本演绎规则可以被认为是逻辑原理的原理，因为它们足以证明所有其他逻辑原理。
我们将在后面展示，三个（甚至两个）逻辑连接词足以定义所有其他的逻辑连接词。因此，六个（甚至四个）基本演绎规则足以产生所有逻辑结果关系，再加上重复规则和传递性规则。例如，可以选择否定、合取和全称量词作为基本的逻辑连接词。然后，所有其他逻辑连接词的演绎规则都可以从这三个基本连接词的六条规则中推导出来。
理论陈述由其基本概念（性质或关系）、个体名称和逻辑连接词构成。个体名称是一个常量或变量，可以用函数来构建。例如，x+y 是一个用加法函数和变量 x 和 y 构建的个体名称。常量是指本身就属于个体的个体名称。变量是一个有点矛盾的名称。它是一个个体的名称，但没有指明任何特定的个体。它用于命名任何个体，而不指定在特定域中是哪个个体。
逻辑规则指出，一个陈述是其他陈述的逻辑结果。当它们包含自由变量（个体、性质、关系、函数、陈述或有限陈述列表的变量）时，当且仅当所有将自由变量替换为常量的场合中，它们都是真的，那么它们就是真的。
特殊化规则
如果 i 是一个个体，那么 S(i) 是 对于所有 x，S(x) 的逻辑结果。
x 可以是任何个体变量。i 可以是任何个体名称：常量、变量或复合表达式。S(i) 是从 S(x) 中获得的陈述，通过将 i 替换 S(x) 中所有 x 的出现位置。
这条规则是所有逻辑中最重要的一条，因为推理的力量来自于我们用来推理的定律。无论何时将定律应用于个体，我们都会了解定律教给我们的东西，并揭示它赋予我们的推理力量。
概括规则
如果 S(x) 是前提 P 的逻辑结果，并且 x 是一个不在这些前提中提到的个体变量，那么 对于所有 x，S(x) 是相同前提的逻辑结果。
在这条规则以及接下来的规则中，P 是一个有限的陈述列表。
这条规则应用的一个例子是哲学的或笛卡尔的“我”。人们可以在不假设任何特定被命名个体的情况下说“我”。因此，关于自己所说的一切都可以应用于所有个体。例如，如果一个人在不假设自己任何特定信息的情况下证明了“我不能怀疑我在怀疑时我在怀疑”，那么一个人可以推断“没有人可以怀疑他们在怀疑时他们在怀疑”。
分离规则
B 是两个前提 A 和 如果 A 那么 B 的逻辑结果。
假设合并规则
如果 B 是前提 P 和 A 的逻辑结果，那么 如果 A 那么 B 是前提 P 的逻辑结果。
归谬法原理
如果 B 和 非 B 都是前提 P 和 A 的逻辑结果，那么 非 A 是前提 P 的逻辑结果。
双重否定消除规则
A 是 非 非 A 的逻辑结果。
分析规则
A 和 B 都是唯一前提 A 且 B 的逻辑结果。
合取合成规则
A 且 B 是两个前提 A 和 B 的逻辑结果。
论题弱化规则
A 或 B 和 B 或 A 都是 A 的逻辑结果。
析取合成规则
如果 C 是前提 P 和 A 的逻辑结果，并且是前提 P 和 B 的逻辑结果，那么 C 是前提 P 和 A 或 B 的逻辑结果。
直接存在证明规则
如果 i 是一个个体，那么 存在一个 x 使得 S(x) 是 S(i) 的逻辑结果。
i 可以是任何个体名称：常量、变量或复合表达式。S(x) 是通过将 x 替换 S(i) 中某些（不一定全部）i 的出现位置而获得的公式。x 必须是一个不在 S(i) 中提到的个体变量。
引入新常量规则
如果 c 是一个新的个体常量，那么 S(c) 是 存在一个 x 使得 S(x) 的逻辑结果。
c 不应在前面的公理或公式中提到。S(c) 是从 S(x) 中获得的，通过将 c 替换 S(x) 中所有 x 的出现位置。
关于函数逻辑的备注：理论中的函数始终可以用关系表示。例如，具有一个参数的函数 f 可以用二元关系 R 表示：当且仅当 f(x)=y 时，Rxy。具有两个参数的函数 f 可以用三元关系 R 表示：当且仅当 f(x,y)=z 时，Rxyz。当然，对于具有更多参数的函数也是如此。函数也称为运算符。通过用它们定义的关系替换函数，可以始终将用函数定义的结构与仅用关系定义的等效结构相关联。这就是为什么在逻辑上可能的世界定义中不需要提及函数的原因。我们可以不用函数，只用关系逻辑来推理。但是，用允许函数的理论进行推理通常更方便。前面的规则的表述方式使它们既适用于纯粹的关系逻辑，也适用于函数逻辑。唯一的区别在于个体名称的形成。如果我们没有函数，个体名称就是变量或基本常量。我们甚至可以通过用性质表示它们来不用基本常量：常量 c 用性质 P 表示：当且仅当 x=c 时，Px，它只对 c 成立。如果我们以这种方式进行，个体总是用变量来命名。
无假设推理和逻辑定律
[edit | edit source]即使在开始时没有假设，也可以应用基本推论规则。假设合并规则和归谬法原理使得能够从假设下的推理过渡到无假设的推理。
无假设推理的结论是普遍的逻辑真理，始终为真，无论对它们所提及的概念的解释如何，除了对逻辑连接词的解释。它们被称为逻辑定律或重言式。
一些逻辑定律的例子
纯重言式：如果 p 那么 p
由于根据重复规则，p 是 p 的逻辑结果，因此根据假设合并规则，如果 p 那么 p 是一个逻辑定律。
非矛盾原理：非 (p 且 非 p)
根据分析规则，p 和 非 p 都是 p 且 非 p 的逻辑结果，因此根据归谬法原理，非 (p 且 非 p) 是一个逻辑定律。
排中律：p 或 非 p
意义完全确定的陈述 p 必然为真或假。没有第三种可能性。
要展示证明，总是需要指定结果依赖的假设。向右移位规则使得能够方便地展示形式证明：当我们引入一个新的假设时，我们将它向右移位。结果仅依赖于在其上或其左侧的假设，但不依赖于其右侧的假设。
假设排中律可能是假的
- (1) 假设：非 (p 或 非 p)
- (2) 假设：p
- (3) 根据 (2) 和论题弱化规则，p 或 非 p。
- (4) 根据 (1) 和重复规则，非 (p 或 非 p)。
- (5) 根据 (2)、(3)、(4) 和归谬法原理，非 p。
- (6) 根据 (5) 和论题弱化规则，p 或 非 p。
- (7) 根据 (1) 和重复规则，非 (p 或 非 p)。
(8) 根据 (1)、(6)、(7) 和归谬法原理，非 非 (p 或 非 p)。
根据 (8) 和双重否定消除规则，p 或 非 p。
基本备选方案：要么 p 要么 非 p
它是非矛盾原理和排中律的结合。任何意义完全确定的陈述都是真或假，但不会同时两者。当一个陈述既真又假，或者既不真也不假时，它的意义就不是完全确定的：它在一个意义上是真，在另一个意义上是假，或者它既不真也不假，因为没有任何东西能够决定它。
斯多葛学派发现的一条定律：如果 (如果 非 p 那么 p) 那么 p
例如：如果一切都是假的，那么有些事情是真实的（因为一切都是假的这句话将是真实的），因此有些事情是真实的。
- (1) 假设：如果 非 p 那么 p
- (2) 假设：非 p
- (3) 根据 (1) 和 (2) 以及分离规则，p。
- (4) 根据 (2) 和重复规则，非 p。
- (5) 根据 (2)、(3)、(4) 和归谬法原理，非 非 p。
- (6) 根据 (5) 和双重否定消除规则，p。
根据 (1)、(6) 和假设合并规则，如果 (如果 非 p 那么 p) 那么 p。
所有推论规则，无论是基本的还是派生的，都可以转化为逻辑定律，因为如果 C 是前提 P 的逻辑结果，那么 如果 P 的合取那么 C 是一个逻辑定律。例如，如果 (A 且 如果 A 那么 B) 那么 B 是一個翻譯了分離规则的逻辑定律。
演绎推理的基本规则足以推导出所有逻辑蕴涵关系和所有逻辑规律。这是由库尔特·哥德尔在其博士论文（哥德尔 1929 年，该论文对一个不同的但等价的形式系统进行推理）中证明的一阶逻辑的完备性定理。因此，演绎推理的基本规则是对亚里士多德提出的但未解决的古老问题，即找到所有逻辑原理列表的完整解决方案。
例如，让我们证明如果 A 那么 C 是如果 A 那么 B 和如果 B 那么 C 的逻辑蕴涵。
(1) 假设：如果 A 那么 B，如果 B 那么 C
- (2) 假设：A
- (3) B 根据 (1)、(2) 和分离规则。
- (4) C 根据 (1)、(3) 和分离规则。
如果 A 那么 C 根据 (2)、(4) 和假设合并规则。
另一个例子是逆否规则：如果非 q 那么非 p 是如果 p 那么 q 的逻辑蕴涵。
(1) 假设：如果 p 那么 q
- (2) 假设：非 q
- (3) 假设：p
- (4) q 根据 (1)、(3) 和分离规则。
- (5) 非 q 根据 (2) 和重复规则。
- (6) 非 p 根据 (3)、(4)、(5) 和归谬法。
如果非 q 那么非 p 根据 (2)、(6) 和假设合并规则。
逻辑连接词可以相互定义。例如，存在量词可以从全称量词和否定定义。
存在一个 x 使得 p 意味着所有 x 使得非 p 的情况是错误的，换句话说，非（对所有 x 非 p）。
我们也可以采用相反的定义
对所有 x，p 意味着存在一个 x 使得非 p 的情况是错误的，也就是说，非（存在一个 x 使得非 p）。
以同样的方式，我们可以从合取定义析取，或者相反
p 或 q 意味着非（非 p 且非 q）
p 且 q 意味着非（非 p 或非 q）
条件可以从合取或析取定义
如果 p 那么 q 意味着非（p 且非 q）
如果 p 那么 q 也意味着q 或 非 p
双条件当且仅当可以从条件和合取定义
p 当且仅当 q 意味着（如果 p 那么 q）且（如果 q 那么 p）
它也可以从其他连接词定义
p 当且仅当 q 意味着（p 且 q）或（非 p 且非 q）
或
p 当且仅当 q 意味着非（（p 且非 q）或（非 p 且 q））
我们还可以引入逻辑连接词既不也不，并从它定义所有其他连接词
非 意味着既非 p 也非 p
p 且 q 意味着既非非 p 也非非 q
p 或 q 意味着非（既非 p 也非 q）
如果 p 那么 q 意味着非（既非非 p 也非 q）
p 当且仅当 q 意味着既非（p 且非 q） 也非（非 p 且 q）
当推理是逻辑的时，结论不能提供比前提已经给出的更多信息。否则推理就不是逻辑的，因为结论可能在前提为真的情况下为假。逻辑结论总是前提中已经陈述内容的重新表述。事实上，许多论证什么也没告诉我们，因为结论只是前提的重复，只是形式略有不同。然后我们说它们是同义反复的。它们是“它是如此因为它是如此”这个主题的变奏。
在逻辑学家定义的精确意义上，同义反复是逻辑规律，这些规律总是为真，无论对它们的词语赋予什么解释（逻辑连接词除外）。当推理是逻辑的时，语句“如果前提成立，那么结论成立”总是同义反复，正如逻辑学家所定义的。
结论只是重复前提中已经说过的内容。推理必须是同义反复才能是逻辑的。但为什么我们要推理呢？似乎推理不会教给我们任何东西。
推理的力量来自于它所基于的一般原理。如果我们将逻辑简化为基本命题逻辑（建立在除了带有全称量词和存在量词的原理之外的所有逻辑原理之上），在这种逻辑中，语句永远不是一般的，因为我们没有全称量词，那么是的，我们推理的同义反复特征通常是显而易见的。当它不显而易见时，只是因为我们的逻辑直觉有限。命题逻辑主要用于改写我们的断言。这可能非常有用，因为理解取决于表述，但这并不能解释为什么推理使我们能够知道我们原本不知道的东西。
一个语句是一个规律，当它可以应用于许多特定情况时。它总是可以以以下方式表述
对 D 中的所有 x，S(x)
换句话说
对所有 x，如果 x 在 D 中，那么 S(x)
D 是规律的范围。S(x) 是关于x 的一个语句。
所有形式为S(i) 的语句，其中i 是D 中一个元素的名称，S(i) 是通过在S(x) 中将i 替换为x 获得的语句，都是规律的明显逻辑蕴涵。S(i) 是规律的一个特例。
当我们学习一个规律时，我们最初只知道一个或几个特例。我们不可能想到所有特例，因为它们太多。每当我们将一个已知规律应用于以前从未考虑过的一个特例时，我们就会学到一些东西。
规律就像一个压缩的信息。在一个语句中，它确定了关于所有可以应用它的特例的丰富信息。当我们用规律推理时，我们发现的不是前提中所说的，而只是隐含其中的。推理使我们能够发现规律可以教给我们的所有东西。
我们通过验证逻辑推理是否符合逻辑原理来识别它。但是我们如何识别逻辑原理呢？我们如何知道它们是好的原理呢？如何证明它们呢？我们真的确定它们总是从真前提得出真结论吗？
通过复合语句真值的定义原理，我们可以证明我们的逻辑原理是正确的，因为它们总是从真值推导出真值。例如，只需要对条件的真值表进行推理就可以证明分离规则的正确性。
一个怀疑论者可能会反对说，这些对逻辑原理的证明是毫无价值的，因为它们是循环的。当我们对逻辑原理进行推理以证明它们时，我们使用了我们需要证明的相同原理。如果我们的原理是错误的，它们将证明错误，因此它们可以证明自己的正确性。因此，逻辑原理使我们能够证明它们自己的正确性，并不能真正证明它们的正确性，因为错误的原理也可以做到同样的事情。
这个反对意见并非决定性。我们只需要看看可疑的循环证明，就能确信它们的有效性，仅仅因为它们是优秀的、不可反驳的。不容许有任何疑问，因为一切都清晰地定义和证明。一个怀疑论者可以正确地指出，这样的证明只能说服那些已经被说服的人。但在这个例子中，说服并不难，因为逻辑原理只是表述了我们在正确推理时已经知道的东西。
逻辑原理的循环性在特殊化规则中尤为明显
对于每个语句S(x) 和每个个体i，S(i) 是对所有 x，S(x) 的逻辑蕴涵。 (1)
例如，如果苏格拉底是一个人，那么苏格拉底是凡人 是对所有 x，如果 x 是一个男人，那么 x 是凡人 的逻辑蕴涵。（2）
为了从 (1) 到 (2)，特殊化规则已经被应用了两次。语句S(x) 在如果 x 是一个男人，那么 x 是凡人 中被特殊化，个体i 在苏格拉底 中被特殊化。
借助分离规则，我们可以从A 和如果 A 那么 B 推导出B。因此，一个更完整的规则应该是，我们可以从A、如果 A 那么 B 和分离规则推导出B。但是这个规则还不完整。一个更完整的规则，但仍然不完整，是我们可以从A、如果 A 那么 B、分离规则以及告诉我们我们可以从A、如果 A 那么 B 和分离规则推导出B 的规则推导出B。但一定还有另一个规则告诉我们，我们可以应用前一个规则，然后一直应用到无穷大（卡罗尔 1895 年）。
如果分离规则本身是一个必须在我们证明中提到的假设，并且我们的结论是从它推导出来的，那么我们的推理就永远无法开始，因为需要第二个规则来证明从分离规则推导出来的结论，然后需要第三个规则来证明从第二个规则推导出来的结论，以此类推，一直到无穷大。但是逻辑规律不是假设。我们总是可以将它们作为前提采用，而无需任何其他证明，除了它们是逻辑规律之外，因为它们不可能是假的，因为它们不可能导致我们出错。
概念绑定问题（两个概念是关于同一个体还是不同个体？）通过识别概念所归属的个体来解决。但同一个体的名称多样性带来了问题：当两个概念分别归属给 x 和 y 时，它们是绑定还是未绑定？如果 x = y，它们是绑定，如果 x 与 y 不同，它们则未绑定。
x=y 表示 x 和 y 是同一个体的名称。当我们无法从名称多样性推断出存在多样性时，我们需要恒等关系，因为同一个体可以用多种方式命名。
了解同一个体的名称多样性可以让我们对它有更深入的了解，尤其是当名词是复合表达式时。亚里士多德是柏拉图最好的学生，这意味着亚里士多德 = 柏拉图最好的学生。“柏拉图最好的学生”是亚里士多德众多名称之一。
“最好的学生”是一个函数的名称，它将老师与其最好的学生联系起来。一般来说，我们通过赋予实体简单的名称和由函数构成的名称来命名所有实体。
了解 x=y 表示 x 和 y 是同一个体的名称，恒等的自反性原则 x=x，对称性原则 如果 x=y，那么 y=x，以及传递性原则 如果 x=y 且 y=z，那么 x=z 都是根据定义成立的，就像恒等不可分辨性原则一样。
如果 x=y，则所有关于 x 的真实内容也适用于 y。
如果 E(x) 且 x=y，那么 E(y)
对于关于 x 的任何陈述 E(x)。
恒等不可分辨性原则可以用来证明传递性原则。通过将 E(z) 替换为 w=z，我们得到
如果 w=x 且 x=y，那么 w=y
它也可以通过将 E (z) 替换为 z=x 从自反性原则推导出对称性原则
如果 x=x 且 x=y，那么 y=x
或者 x=x
所以
如果 x=y，那么 y=x
x=x 可以从两个方面理解：一个实体总是与其自身相同，或者一个名称 x 必须始终代表同一个实体。
当我们思考我们可用的可能性时，我们思考的是实际实体（包括我们自己）的自然可能排列。因此，我们思考的是包含相同实体的不同可能世界。同一个体在许多可能世界中虚拟存在。
当一个人争论绝对可能性时，在不同世界中识别同一个体就没有多大意义。例如，如果一个人思考两个不同的可能物质宇宙，说其中一个宇宙中的一个点或粒子与另一个宇宙中的一个点或粒子相同是没有意义的。虽然我认为自己可能会有不同的命运，但我其他的版本永远不是真正的我。我不为他们虚拟的行为负责。
一个自然实体只存在于一个自然可能的世界中。对我们来说，这个世界就是现实世界。但自然实体的本质是由其自然属性决定的，而自然属性的本质是由其在所有自然可能世界中的位置决定的。这就是为什么即使一个自然实体只存在于一个自然可能的世界中，其本质也是由其在所有自然可能世界中的位置决定的。
关于同一个体在多个自然可能世界中的推理，始终可以被关于具有相同自然属性的不同个体的推理所取代（Lewis 1986，但他的可能世界理论不同）。
一个属性或一个自然关系是由其在所有自然可能世界中的位置决定的，因此是由定义自然法则的公理系统决定的。
更一般地，一个属性或一个理论关系是由其在定义理论的公理系统中的位置决定的。
在所有自然可能世界中都适用于相同实体的两个自然属性占据相同的位置。因此，它们本质上是相同的属性。自然关系也是如此。因此，我们证明了属性和自然关系的外延性原则。
两个属性或自然关系相同，当且仅当它们在所有自然可能世界中都适用于相同的实体。
同样的外延性原则也适用于理论属性和关系
两个属性或理论关系相同，当且仅当它们在理论的所有模型中都适用于相同的实体，也就是说，在所有公理为真的逻辑可能世界中都适用。
当我们谈论两个实体之间的相似性时，我们的意思是其中一个实体所具有的某些属性也可以归属于另一个实体。当我们谈论两个系统之间的相似性时，表达式“一个实体的真实内容也适用于另一个实体”可以获得更微妙的含义。我们的意思是存在一个投影 f，它可以将第一个系统的实体 x 替换为第二个系统的实体 f(x)，使得关于第一个系统的真实陈述被替换为关于第二个系统的真实陈述。这种投影在数学中被称为同态，或者如果它是双射的，则被称为同构，这意味着这两个系统具有相同的形式或结构。
目前对结构概念的使用存在歧义。结构有时指对象，有时指系统，有时指其属性。结构本身也有结构。从逻辑的角度来看，结构作为对象是一个逻辑可能的世界或一个逻辑可能世界的一部分。结构作为属性可以从等价关系 x 与 y 具有相同的结构中定义。这种等价关系可以使用同构的概念来定义
两个结构（或两个系统）具有相同的结构，当且仅当它们同构。
两个结构 E 和 F 之间的同构是一个双射函数 f，它将 E 的实体替换为 F 的实体，使得所有基本属性和关系都被保留。形式上
如果 P 是一个基本属性，对于 E 中的所有 x，x 具有属性 P，当且仅当 f(x) 具有属性 P。
如果 R 是一个基本二元关系，对于 E 中的所有 x 和所有 y，xRy，当且仅当 f(x)Rf(y)
对于更多项的基本关系也是如此。
（E 的元素与 F 的元素之间的关系在每个 E 的元素与 F 的一个元素连接时定义了从 E 到 F 的一个映射。从 E 到 F 的一个映射在每个 F 的元素与 E 的一个元素连接时是双射的。换句话说，一个双射函数是一个其逆函数也是映射的映射。）
两个结构之间的同构可以将关于一个结构的所有真实陈述转化为关于另一个结构的真实陈述，方法是将所有地方的 x 替换为 f(x)。当两个结构同构时，它们是同一个理论的模型。一个结构的所有公理系统必然也适用于另一个结构。
一个复杂的自然实体是一个自然结构，由自然属性和关系定义。两个同构的复杂自然实体本质上是相似的，自然不可分辨的。它们具有相同的自然属性。在其中一个实体中自然可能发生的一切，在另一个实体中也自然可能发生。复杂自然实体的本质就是它的结构。两个同构的复杂自然实体具有相同的本质。
同构的概念通常以更一般的方式定义。双射函数 f 不仅允许替换实体，还允许替换属性和关系，始终以使一个系统中的真实陈述被另一个系统中的真实陈述替换的方式进行。当系统之间的相似性以这种方式定义时，通常说相似的系统是类比的，并且投影 f 是一个类比。同构可以定义为双射类比。
我们也可以以更一般的方式定义结构的概念
两个结构具有相同的结构，当且仅当它们是同一个理论的模型。
根据第二个定义，结构作为属性是由理论的公理决定的。更准确地说，当不同的公理体系具有相同的模型时，即当一个体系的任何模型都是另一个体系的模型时，它们定义了相同的结构。
当一个理论的所有模型都同构时，它就是范畴的。数学的基本结构，特别是自然数集和实数集，是由范畴理论决定的。一个范畴理论禁止任何偶然性。本质上只有一个逻辑上可能的世界服从其原则。自然规律并不决定一个范畴的自然理论。它们为偶然性留下了空间。
当一个理论不是范畴时，不同的、非同构的结构或系统可能具有相同的结构，如该理论所定义的。例如，我们可以说所有向量空间都具有向量空间结构。
结构 E 的自同构是一个内部同构，即从 E 到 E 的同构。
每个结构都具有一个平凡的自同构，即由 id(x)=x 定义的恒等函数。
当一个结构至少具有一个非平凡的自同构时，它就是对称的。
一个非平凡的自同构是结构的对称性。
结构的自同构形成一个群，从代数意义上说，因为自同构的逆也是自同构，因为两个自同构的复合也是自同构。
结构的所有自同构的群也称为其对称群。例如，圆形或圆盘的对称群是围绕其中心旋转和平面镜面反射的群。
当存在一个自同构 g 使得 y=g(x) 时，x 和 y 在结构内本质上是无法区分的，因为关于一个的任何真值都可以转换为关于另一个的等价真值。
对称结构元素 x 的等价类或轨道是所有满足 y=g(x) 的 y 的集合，其中 g 是结构的自同构。
等价类是结构内本质上无法区分的元素集合。例如，圆形的所有点都在同一个等价类中，因为圆形上没有任何东西可以区分它们。圆盘上与中心距离相同的点也在同一个等价类中，但不同的同心圆是不同的等价类，因为这些点通过它们到中心的距离来区分。
当一个结构包含不同的但本质上无法区分的元素时，它是对称的，因为它们在结构中的属性和关系决定了不同的但等价的位置。
当一个自然结构包含自然上无法区分的元素，并且这些元素在结构中的关系赋予它们等价的位置时，它就是完美的对称。
当一个自然结构包含自然上非常相似的元素，并且这些元素在结构中的关系赋予它们等价的或几乎等价的位置时，它就是不完美的对称。
当一个结构包含许多组成部分时，它越对称，就越容易了解它，因为一旦我们了解一个对称部分，我们就知道所有对称部分。
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所有数学知识都可以被认为是关于逻辑上可能世界的知识。
当矛盾 **p 且非 p** 不是其公理的逻辑结果时，一个理论是一致的、非矛盾的或连贯的。否则，它是矛盾的、不一致的、不连贯的、荒谬的。
逻辑上可能世界的真实理论必然是一致的，因为矛盾在所有逻辑上可能的世界中都是假的。
一个一致的理论至少对应于一个逻辑上可能的世界。这就是哥德尔完备性定理。如果我们发现一个必然是假的理论，也就是说在所有逻辑上可能的世界中都是假的，而不可能证明其公理会导致矛盾，那么这将表明我们的逻辑是不完备的，它不足以证明所有必要的逻辑真理。但哥德尔在其博士论文中证明了我们的逻辑是完备的（哥德尔 1929 年）。
我们通过反思自己的语言来发展数学知识。逻辑上可能的世界是由语言定义的，包含原子语句集。了解这些世界就是了解定义它们的语言。数学世界不过是我们所定义的东西。没有什么被隐藏，因为它们是我们自己的工作。我们可以了解它们的一切，因为我们决定了它们是什么。
数学真理是发明还是发现？
两者都是，因为发明总是发现一种可能性。
当我们发明时，我们改变了实际，但我们没有改变所有可能性的空间。无论我们做什么，可能的就是可能的。我们经常采取行动来使以前不太容易获得的东西变得更容易获得，但这从来不是关于使不可能的事情成为可能，我们只是改变了相对于我们当前情况的可能性。当我们使可能的事情变得不可能时，这些仍然是相对的可能性。绝对可能性的空间，无论是逻辑的还是自然的，都与我们无关。
当我们发展数学知识时，我们发现了语言的可能性。
我们通过对自己的语言进行推理来获得关于有限结构的数学知识，因为这些结构是用有限的原子语句集来定义的。
关于无限数学结构的知识更难理解。它们是用无限的原子语句集来定义的。我们从其有限定义中了解这些无限集。两个过程对于定义无限集是基础的
- 递归构造
我们给自己一些初始元素和规则，这些规则使我们能够从初始元素或已生成的元素中生成新元素。例如，我们可以从单个初始元素 **1** 开始，并使用从 **x** 和 **y** 生成 **(x + y)** 的规则。然后通过说它是包含所有初始元素和通过有限次应用规则生成的元素的唯一集合来定义无限集：**(1+1)**，**((1+1)+1)**，**((1+1)+(1+1))** ...
- 所有子集的集合的定义
只要定义了一个集合 **x**，幂集公理就允许我们定义包含 **x** 中包含的所有集合的唯一集合。如果 **x** 是一个无限集，那么 **x** 的幂集是一个更大的无限集。