同调代数/序列

引理：在$Ab$-富集范畴中，如果$f$是一个核，$g$是$f$的余核，那么$f$是$g$的核。

证明：设$f$ 是$h$ 的核。由于$hf=0$，并且$g$ 是$f$ 的余核，则存在$k$ 使得$h=kg$。对于所有$l$ 使得$gl=0$，有$hl=kgl=k0=0$。由于$f$ 是$h$ 的核，$l$ 可以唯一分解成$f$。 $\Box$

推论：在一个阿贝尔范畴中，考虑一个序列$a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {g}}c$。以下条件等价

1. $g$ 是$f$ 的余核，并且$f$ 是$g$ 的核。
2. $f$ 是单同态，而 $g$ 是 $f$ 的上核。
3. $g$ 是满同态，而 $f$ 是 $g$ 的核。

定义（短正合列）:

如果 $\cdot {\xrightarrow {f}}\cdot {\xrightarrow {g}}\cdot$ 满足以上任何一个等价条件，则我们称之为 **短正合列**。

命题（裂解引理）:

设 ${\mathcal {C}}$ 为阿贝尔范畴，并假设

$0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad f\qquad } B\xrightarrow {\qquad g\qquad } C\longrightarrow 0$

是一个短正合列。那么以下陈述等价：

1. 存在一个态射 $l:B\to A$ 使得 $l\circ f=\operatorname {id} _{A}$
2. 存在一个态射 $r:C\to A$ 使得 $g\circ r=\operatorname {id} _{B}$
3. 短正合列 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad f\qquad } B\xrightarrow {\qquad g\qquad } C\longrightarrow 0$ 与短正合列 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad \iota _{A}\qquad } A\oplus C\xrightarrow {\qquad \pi _{C}\qquad } C\longrightarrow 0$ 同构。

证明： 首先假设 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad f\qquad } B\xrightarrow {\qquad g\qquad } C\longrightarrow 0$ 与 $0\longrightarrow A\xrightarrow {\qquad \iota _{A}\qquad } A\oplus C\xrightarrow {\qquad pi_{C}\qquad } C\longrightarrow 0$ 同构，通过同构 $\varphi :A\to A$, $\psi :B\to A\oplus C$ 和 $\chi :C\to C$。那么存在 $l$ 如同 1. 中所述，因为我们可以简单地定义

$l:=\varphi ^{-1}\circ \pi _{A}\circ \psi$;

$l$ 具有所需的性质，因为根据链复形态射的定义，$\psi \circ f=\iota _{A}\circ \phi$，并且 $\pi _{A}\circ \iota _{A}=\operatorname {id} _{A}$。现在假设确实存在 $l:B\to A$ 使得 $l\circ f=\operatorname {id} _{A}$。由于 $A\oplus C$ 是双积，它特别是积，因此 $l$ 和 $g$ 定义了一个唯一的态射 $\Phi :B\to A\oplus B$ 使得

$l=\pi _{A}\circ \Phi$ 和 $g=\pi _{B}\circ \Phi$.

然后，$\Phi$，连同关于 $A$ 和 $C$ 的恒等式，产生了链复形的同构。2. 和 3. 的等价性是 1. 和 3. 等价性的对偶陈述，因此无需单独证明。$\Box$