IB 数学 (HL)/代数

主题 1：核心 - 代数

数列和级数

等差数列和级数

等差数列是符合以下形式的数列

$u_{n}=u_{1}+d(n-1)$

其中 $u_{n}$ 是数列的第 $n^{th}$ 项，$u_{1}$ 是数列的首项，d 称为公差。该数列的独特之处在于数列的下一项是前一项加上公差。例如，

$1,2,3,4,...$

其中公差为 1，首项为 1。可以使用上述公式创建的等差数列的通项公式为

$u_{1},u_{1}+d,u_{1}+2d,u_{1}+3d,...$

等差级数是等差数列所有项的和。使用上面的例子，级数可以写成

$1+2+3+4+...$

有限等差级数到第 $n^{th}$ 项"$u_{n}$" 的和可以用以下公式表示

$S_{n}={\frac {n}{2}}(u_{1}+u_{n})={\frac {n}{2}}(2u_{1}+d(n-1))$

和也可以用 sigma 符号表示

$\sum _{n=1}^{k}\left[u_{1}+d(n-1)\right]$

其中 $u_{k}=u_{n}$。当项数趋于无穷大时，所有等差级数都发散。这就是为什么等差级数的和只能求到有限项。

等比数列和级数

等比数列是符合以下形式的数列

$u_{n}=u_{1}r^{n-1}$

其中 $u_{n}$ 是数列的第 $n^{th}$ 项，$u_{1}$ 是数列的首项，r 称为公比。在这样的数列中，后一项是前一项乘以公比所得。几何级数的例子是：

$1,3,9,27...$

几何级数是指几何数列所有项的和。对于上面的例子，几何级数是：

$1+3+9+27...$

有限几何数列前 $n^{th}$ 项 $u_{n}$ 的和可以用以下表达式表示：

$S_{n}={\frac {u_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}={\frac {u_{1}(1-r^{n})}{1-r}},r\neq 1$

该和也可以用求和符号表示

$\sum _{n=1}^{k}u_{1}r^{n-1}$

其中 $u_{k}=u_{n}$。与等差级数不同，几何级数并不一定发散。如果公比 r 满足 $\left|r\right|>1$，那么该级数发散。如果 $\left|r\right|<1$，那么该级数收敛，并且当 n 趋于无穷大时，数列的第 $n^{th}$ 项的值趋于零。

对于发散的几何级数，只有在 n 为有限值的情况下才能计算其和。然而，对于收敛的几何级数，无限项的和可以用以下表达式表示：$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$ 或者 $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}$

复利和人口增长

复利基于等差数列的概念。假设以利率 r 投资 P 元，并且每年复利 n 次。时间以年为单位，用 t 表示。这将是一个数列：

$P_{0}=P\,$

$P_{1}=P+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}}P=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})$

$P_{2}=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})+({\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})(P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}}))=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})^{2}$

$P_{n}=P(1+{\begin{matrix}{\frac {r}{n}}\end{matrix}})^{nt}$

对于人口增长，相同的函数仍然适用，其中 P 表示初始人口数量，r 表示人口增长的比率。

指数和对数

指数

代数部分需要理解指数以及对指数进行运算。指数函数的一个例子是 $a^{c}$，其中 a 被提升到 $c^{th}$ 次方。指数的计算方法是将底数自身相乘，相乘的次数由指数决定。例如，$2^{3}=2\times 2\times 2=8$。如果指数是分数，则表示开根号。例如，$4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$。以下是一些需要记忆的指数运算定律：

• $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
• $a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$
• $(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
• $a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

对数

它还需要理解对数。对数可以用来解指数方程，例如$2^{x}=8$，可以通过对两边取对数或应用对数规则来解决。对数的默认底数为 10。对数的底数表示指数形式中被提升到幂的数。被取对数的数是指数。通过将对数与指数联系起来，我们可以推断出$2^{x}=8$ 等同于$\log _{2}8=x$。对数规则如下

• $\log _{a}a=1$
• $\log _{b}a^{x}=x\log _{b}a$
• $\log _{a}b=b^{a}$
• $\log _{b}a={\frac {\log _{c}a}{\log _{c}b}}$

相同的规则也适用于$\ln$，因为它与$\log _{e}$ 相同

组合与二项式定理

该定理与二项式有关。

复数

复数是包含负数平方根的数。-1 的平方根是 i。

棣莫弗定理

棣莫弗定理是对复平面上的极坐标形式的扩展。其形式在下面给出。

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,$


创建者：JTLenzz 和 Lance

编辑者：lichking21st 于 2013 年 3 月 28 日