IB 数学（HL）/三角学

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主题 3：圆函数和三角学讨论了基于圆的函数，三角函数是如何推导出来的，以及各种三角恒等式和规则。

3.1 圆和弧度制

部分内容：圆：角的弧度制；弧长；扇形面积

1 弧度定义为圆心角所对的圆弧长度等于圆半径时的角。180° = π 弧度。
半径为 r 的圆中，圆心角为 θ 弧度所对的弧长为 l，则定义为： $\theta ={\frac {l}{r}}$ .
弧长 l 可以用以下公式计算： $l=\theta r$ ，其中 θ 以弧度为单位或 $l={\frac {\theta }{360}}(2\pi r)$ ，其中 θ 以度为单位。这些公式源于圆周长的公式。(前一个公式包含在公式手册中)
扇形面积可以用以下公式计算： $A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}$ ，其中 θ 以弧度为单位或 $A={\frac {\theta }{360}}(\pi r^{2})$ ，其中 θ 以度为单位。(前一个公式包含在公式手册中)

3.2 三角函数作为圆函数

部分内容：用单位圆定义 cos θ、sin θ 和 tan θ；0、π/6、π/4、π/3、π/2 及其倍数的 sin、cos 和 tan 的精确值；定义 sec θ、csc θ 和 cot θ 的倒数三角函数；毕达哥拉斯恒等式

考虑一个单位圆（半径为 1 的圆）在一个坐标平面上，圆心在原点 O(0, 0)，圆周上有一点 P(x, y)。角 θ 是 OP 与正 x 轴之间的夹角，角 α 是 OP 与 x 轴之间的夹角（正或负）。OP = 1 个单位。

在第一象限 (0 < θ < π/2) 中： $\sin {\theta }={\frac {y}{OP}}=y$ ， $\cos {\theta }={\frac {x}{OP}}=x$ ，以及 $\tan {\theta }={\frac {y}{x}}$ 。所有比率均为正数。
在第二象限 (π/2 < θ < π) 中： $\sin {\theta }=\sin {(\pi -\alpha )}={\frac {y}{1}}=y=\sin {\alpha }$ ， $\cos {\theta }=\cos {(\pi -\alpha )}={\frac {-x}{1}}=-x=-\cos {\alpha }$ ，以及 $\tan {\theta }=\tan {(\pi -\alpha )}={\frac {y}{-x}}=-{\frac {y}{x}}=-\tan {\alpha }$ 。只有正弦比率为正数。
在第三象限（π < θ < 3π/2）： $\sin {\theta }=\sin {(\pi +\alpha )}={\frac {-y}{1}}=-y=-\sin {\alpha }$ ， $\cos {\theta }=\cos {(\pi +\alpha )}={\frac {-x}{1}}=-x=-\cos {\alpha }$ ，以及 $\tan {\theta }=\tan {(\pi +\alpha )}={\frac {-y}{-x}}={\frac {y}{x}}=\tan {\alpha }$ 。只有正切比是正数。
在第四象限（3π/2 < θ < 2π）： $\sin {\theta }=\sin {(2\pi -\alpha )}={\frac {-y}{1}}=-y=-\sin {\alpha }$ ， $\cos {\theta }=\cos {(2\pi -\alpha )}={\frac {x}{1}}=x=\cos {\alpha }$ ，以及 $\tan {\theta }=\tan {(2\pi -\alpha )}={\frac {-y}{x}}=-{\frac {y}{x}}=-\tan {\alpha }$ 。只有余弦比是正数。

提示：这些关系在公式手册中找不到。但是，您可以使用 ASTC（全部、正弦、正切、余弦）来创建一个短语，使这种与象限的关系更容易记忆；例如：“Add sugar to coffee”。

一条通过原点 O(0, 0) 的直线方程为 $y=\tan {\theta }$ 。

锐角的精确值总结在下表中。试卷 1 使用此知识，您也可能会被要求在试卷 2 中使用它。

$\theta$	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$
$\sin {\theta }$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
$\cos {\theta }$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$
$\tan {\theta }$	$0$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$\infty$

提示： 正弦和余弦比率的精确值互为倒数，因此您只需记住一组值。同样，tan θ 只是 (sin θ)/(cos θ)。

大于 π/2 弧度的角度的精确值可以通过使用上面的象限关系来推导。

倒数三角函数为

$\sec {\theta }={\frac {1}{\cos {\theta }}}$
$\csc {\theta }={\frac {1}{\sin {\theta }}}$
$\cot {\theta }={\frac {1}{\tan {\theta }}}$

公式手册中包含了前两个。

毕达哥拉斯恒等式为

$\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }=1$
$1+\tan ^{2}{\theta }=\sec ^{2}{\theta }$
$1+\cot ^{2}{\theta }=\csc ^{2}{\theta }$

所有这三个都包含在公式手册中。

3.3 复合角和二倍角恒等式

章节内容： 复合角恒等式；二倍角恒等式

复合角恒等式用单独角度的比率表示两个角度之和的三角比率。这些是

$\sin {(A\pm B)}=\sin {A}\cos {B}\pm \cos {A}\sin {B}$
$\cos {(A\pm B)}=\cos {A}\cos {B}\mp \sin {A}\sin {B}$ (注意项与项之间的符号与原函数相反)
$\tan {(A\pm B)}={\frac {\tan {A}\pm \tan {B}}{1\mp \tan {A}\tan {B}}}$

这些公式的证明已被明确排除在教学大纲之外。

双角恒等式可以从复合角恒等式推导出。

恒等式	证明
$\sin {2\theta }=2\sin {\theta }\cos {\theta }$	$\sin {(A+B)}=\sin {A}\cos {B}+\cos {A}\sin {B}$ $\sin {(\theta +\theta )}=\sin {\theta }\cos {\theta }+\cos {\theta }\sin {\theta }$ $\therefore \sin {2\theta }=2\sin {\theta }\cos {\theta }$
$\cos {2\theta }=\cos ^{2}{\theta }-\sin ^{2}{\theta }$ $\cos {2\theta }=2\cos ^{2}{\theta }-1$ $\cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }$	$\cos {(A+B)}=\cos {A}\cos {B}-\sin {A}\sin {B}$ $\cos {(\theta +\theta )}=\cos {\theta }\cos {\theta }-\sin {\theta }\sin {\theta }$ $\therefore \cos {2\theta }=\cos ^{2}{\theta }-\sin ^{2}{\theta }$ 如果我们应用 $\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }=1$ ，我们可以得到另外两个等价表达式 $\cos {2\theta }=\cos ^{2}{\theta }-(1-\cos ^{2}{\theta })$ $\therefore \cos {2\theta }=2\cos ^{2}{\theta }-1$ ...以及... $\cos {2\theta }=(1-\sin ^{2}{\theta })-\sin ^{2}{\theta }$ $\therefore \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }$
$\therefore \tan {(2\theta )}={\frac {2\tan {\theta }}{1-\tan ^{2}{\theta }}}$	$\tan {(A+B)}={\frac {\tan {A}+\tan {B}}{1-\tan {A}\tan {B}}}$ $\tan {(\theta +\theta )}={\frac {\tan {\theta }+\tan {\theta }}{1-\tan {\theta }\tan {\theta }}}$ $\therefore \tan {(2\theta )}={\frac {2\tan {\theta }}{1-\tan ^{2}{\theta }}}$

本节中的所有恒等式都包含在公式手册中。

3.4 复合三角函数

章节内容: 形如 f(x) = a sin(b(x + c)) + d 的复合函数
回顾: 2.3 - 图像变换: 平移; 伸缩; 关于轴的反射

考虑一个复合三角函数 f，其中 $f(x)=a\sin {(b(x+c))}+d$

|a| 是振幅，最大值和最小值之间垂直距离的一半。当 a 为负数时，图像也关于 y = d 反射。
b 是波在正常周期（正切函数为 π 弧度，正弦和余弦函数为 2π 弧度）内的周期数。因此，新周期是正常周期除以 b，即在本例中周期 = 2π/b。
c 是相位移，或水平位移（向左或向右）。当 c 为正数时，图像向左移动；当 c 为负数时，图像向右移动。
d 是垂直位移（向上或向下）。当 d 为正数时，图像向上移动；当 d 为负数时，图像向下移动。

提示: 相位移 c 有时会与 bc 混淆，因为人们普遍认为 b = 1。考试问题可能会通过扩展三角函数中的表达式来迷惑你。例如 $f(x)=\sin {(2x+8)}$ ，c 不是 8，而是 8 除以 2，即 4。

3.5 反三角函数

章节内容: 反函数 arcsin x, arccos x, arctan x；它们的值域和定义域；它们的图像
回顾: 2.1 - 反函数，包括值域限制；2.3 - 反函数的图像关于 y = x 对称

反三角函数（arcsin x，arccos x 和 arctan x）根据三角比（分别为 sin θ，cos θ 和 tan θ）求解角度；它实际上是标准三角函数的逆运算。
从主题 2.1 中你应该已经知道，反函数只存在于一对一函数，而不存在于多对一函数，因此从技术上讲，三角函数的逆函数不是函数。然而，可以限制 f(x) 的定义域，使其成为一对一函数，从而具有反函数。
$f(x)$ 的定义域是 $f^{-1}(x)$ 的值域， $f(x)$ 的值域是 $f^{-1}(x)$ 的定义域。因此 arcsin x 和 arccos x 的定义域是 -1 ≤ x ≤ 1，而 arctan x 的定义域是 x：x 对所有实数都存在。
备选符号（尤其是在计算器上；在本指南中也会使用）： $\arcsin {x}=\sin ^{-1}{x};\arccos {x}=\cos ^{-1}{x};\arctan {x}=\tan ^{-1}{x}$
反函数的图像可以通过先将定义域限制在 -π/2 ≤ x ≤ π/2，然后将图像在 y = x 上反射来获得。
你应该知道 arctan 函数之和的恒等式
以及 arcsin(x) + arccos(x) = π/2

3.6 三角方程的解

章节内容： 在有限区间内解三角方程的代数和图形方法，包括三角恒等式的使用和因式分解
回顾： 2.6 - 图形和代数方法解多项式方程；使用技术解各种方程，包括没有适当解析方法的方程

三角方程可以通过代数和图形方法求解。要代数求解此类方程

关键思想是将所有三角比简化为同一个基本三角比：正弦或余弦（如果代数强制为 sin θ/cos θ，也可以是正切）。使用三角恒等式来帮助你做到这一点。如果无法做到这一点，则使用图形方法求解可能会更容易。
通常这将简化为一个线性方程。但是，它也可以简化为一个多项式，其中 x 被替换为一个三角函数。在这种情况下，就像处理标准多项式方程一样求解，例如通过因式分解、二次公式或二项式定理。你也可以使用图形计算器来求解手动难以求解的方程。
简化为 sin θ = x 的形式后，检查定义域 - 他们希望你的答案在什么范围之间？使用 3.2 中的象限关系来帮助你求解该定义域内的方程。例如，如果定义域是 π/2 ≤ θ ≤ 3π/2，那么你的解将是 $\theta =\pi -\sin ^{-1}{x},\pi +\sin ^{-1}{x}$ 。

要图形求解，将方程的左侧作为一张图，将方程的右侧作为另一张图，绘制在同一坐标系中。确保你的图形计算器处于正确的角度模式（度或弧度） - 除非试卷中说明，否则默认为弧度。交点将是方程的解。

3.7 正弦定理和余弦定理

章节内容： 余弦定理；正弦定理，包括二义性情况；三角形的面积为 1/2 ab sin C

正弦定理和余弦定理将任意三角形中的边和角联系起来。

考虑一个三角形 ABC，其中 a = BC，b = AC 和 c = AB。

如果你知道两边 a 和 b 的长度以及这两边之间的角 C（夹角），那么你可以使用余弦定理来计算剩余边 c 的长度： $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {C}$ 。该定理的一个特例是直角三角形的勾股定理，其中 C = π/2 弧度或 90 度，那么 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。
如果已知三角形三条边长 a、b 和 c，则可以使用余弦定理计算三角形内任意角。对于角 C，公式为： $\cos {C}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$ .
如果已知两个角 A 和 B 以及不在这两个角之间的边长（a 或 b），则可以使用正弦定理计算其中一条边的长度： ${\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}$ .
如果已知两条边长 a 和 b 以及不在这两条边之间的角 A 或 B，则称为“二义性情况”，因为正弦定理： ${\frac {\sin {A}}{a}}={\frac {\sin {B}}{b}}={\frac {\sin {C}}{c}}$ 将得到两个可能的缺失角大小： $A=\sin ^{-1}{\frac {a\sin {B}}{b}},\pi -\sin ^{-1}{\frac {a\sin {B}}{b}}$ 。在这种情况下，需要根据题目给出的信息确定哪一个角是不可能的。

已知两条边长 a 和 b 以及夹角 C，则三角形面积为： $Area={\frac {1}{2}}ab\sin {C}$

这些规则在公式手册中给出。