IB 数学 (HL)/函数

主题 2：核心 - 函数与方程

二次函数图的对称轴

$f(x)=a(x-p)^{2}+q$

对称轴是 $x=p$

例如 $y=2(x+3)^{2}+4$

该图的对称轴是 $x=-3$

求解二次方程

二次方程的形式为 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 或 $a(x-p)^{2}+q$。要解方程，必须将它们因式分解或使用二次公式求解：${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

例如 $y=x^{2}+2x-1$ 由于它不能被分解，可以使用二次公式 $x=-1\pm {\sqrt {5}}$

判别式

方程的判别式对于确定方程有 2 个、1 个或 0 个根很重要。判别式的方程：$b^{2}-4ac$

$b^{2}-4ac>0$ : 方程有 2 个实根

$b^{2}-4ac=0$ : 方程有一个实根

$b^{2}-4ac<0$ : 方程没有实根

如果 $ax^{2}+bx+c$ 中的中间项为偶数，则判别式可以计算为 ${\frac {b^{2}}{4}}-ac$。此修改后的方程的性质保持不变

高级函数

这些函数的次数为二或更高，因此具有两个以上的根。例如，更高次多项式函数 y = x³ − 2x。这是一个三次方程，有三个根。要找到这些根，只需将方程因式分解。在本例中，它变为 x(x²−2)。从这里，你可以使用平方差公式 (a²−b²) 进行因式分解。因此，方程变为 y=x(x+√2)(x−√2)。然后方程的根变为 0,±√2。