易经/八卦八进制
古代中国的八个卦提供了通往元素思维的大门。当顶部和底部线条一致时，无论中间线条如何，卦都是对称的。核心为阳的对称卦是乾☰和坎☵。核心为阴的对称卦是坤☷和离☲。这些是恩培多克勒的元素，被亚里士多德和柏拉图采用。核心为阳的非对称卦是兑☱和巽☴。核心为阴的非对称卦是震☳和艮☶。
由于卦或八卦源于阴阳二元性，因此总存在卦与其补卦的对应关系。离和坎互为补卦，艮和兑互为补卦。正是阴阳的六度吸收在《易经》中显现，而进入结构的方式是通过八卦。六十四卦对应于八卦上的一个完整的有向图。该图包括八个环，每个八卦一个，对应于重复的卦，所以《易经》中的八篇文章阐明了重复卦的强度，这些文章的名称可以用来指代它们。
莱布尼茨在1703年表明，阴线可以看作零 (0)，阳线可以看作一 (1)，因此任意线条都是一个二进制数字 (比特)。三条线就是三个比特或一个八进制数。八进制数字 0 到 7 提供了卦的简短表示。互补关系为 n → 7−n。例如
离 = ☲ = 101 = 5 → 2 = 010 = ☵ = 坎。
《易经》是占卜的工具，传统上使用蓍草或铜钱，根据随机选择进行咨询。然而，六十四卦是有顺序的，从阴阳的绝对分离开始，到阴阳线的完全交融结束。排序的原理仍然是一个谜。重复卦的顺序如下
- 乾☰ 天 (1)，坤☷ 地 (2)，离☲ 火 (29)，坎☵ 水 (30)。
- 震☳ 雷 (51)，艮☶ 山 (52)，巽☴ 风 (57)，兑☱泽 (58)。
通过计算连续卦之间的差异，可以比较它们。在比特串的编码理论中，这个计数称为汉明距离。对于连续卦，最大距离为 6，对应于每个卦都被其补卦替换的情况。在六十三对连续卦中，有 23 对距离为 2，17 对距离为 4，12 对距离为 3。九种距离为 6 的情况（互补卦）如下：1 & 2，11 & 12，17 & 18，27 & 28，29 & 30，38 & 39，53 & 54，61 & 62，63 & 64。只有两对距离为 1，没有一对距离为 5。
对于用卦表示的十二个月，有一个明确的算法：最黑暗的月份对应于全阴卦 (#2)。然后，一个月后，底部出现阳线 (#24)，光线开始出现。下一个月，两条阳线 (#19) 从下方入侵卦。每个月都出现一条新的阳线，直到所有线都变成阳线，因此六个月后出现最亮的日子（夏至，#1）。该算法继续通过引入阴线：#44 的底部有一条阴线，代表进入夏天的第一个月。随着从下方进入的阴线增加，最黑暗的月份 #2 又回来了。
能否找到从 1 到 64 的顺序的算法？它代表了从第一对到最后一对的去极化。汉明距离的衍生序列有一些特征：没有距离为 5，距离为 1 和 3 的距离很少，因此在整个《易经》中，距离在步进中主要是偶数。就八卦而言，出现了六次转置：5 到 6，7 到 8，11 到 12，13 到 14，35 到 36，以及 63 到 64。在 19 种情况下，只有一个卦的位置发生变化。只有六步只有一个卦保持不变。由于注释大量依赖于卦象，因此在文本中注意到了这些特征。
只有希腊元素在序列中参与转置。
- 坎☵ 在乾☰ 上方和下方为 #5 和 #6。
- 坤☷ 在坎☵ 上方和下方为 #7 和 #8。
- 坤☷ 在乾☰ 上方和下方为 #11 和 #12。
- 离☲ 在乾☰ 上方和下方为 #13 和 #14。
- 离☲ 在坤☷ 上方和下方为 #35 和 #36。
- 离☲ 在坎☵ 上方和下方为 #63 和 #64。
参考维基教科书抽象代数可以增强本节的意义，其中介绍了二元运算、抽象群和循环群的基本概念。
根据莱布尼茨，将八卦解释为二进制数，将其与八阶循环群相关联。实际上，有五个不同的八阶群，它们可以用八卦表示其元素。
例如，卦的三条线可以看作一个三位的二进制寄存器，其上执行三个并行操作，这些操作使用模 2 整数的二进制算术进行，其中 1 + 1 = 0。作为一个具有该操作的群，八卦表示
- 二阶循环群的立方。
在 8 个八卦的集合上，另一个群结构可以使用子集 {☷, ☳, ☵, ☶} 或 {地，雷，水，山} 来表示四阶循环群：另外四个八卦作为这四个八卦的补卦出现，互补操作生成二阶循环群。使用这些操作，八卦代表乘积群
群代表八阶的交换群（参见 Groupprops 链接）。但在群论中，二元运算可能不是对称的：顺序很重要：有些群具有元素 p 和 q，其中 pq ≠ qp。其中有两种是八阶的，称为四元数群和二面体群。
卦的补卦将代表负元素。取乾☰ 代表 1，则其补卦坤☷ 代表 −1。由于八卦表示三比特的信息，因此可以使用逻辑 AND 和 OR 操作将它们组合起来。用乾☰ 乘以使用 ^ (AND)，用坤☷ 乘以意味着调用补卦，写作 T。
根据顺序，自然地将☳ 对应 i，☵ 对应 j，☶ 对应 k，从而与四元数和二面体群的传统表示联系起来。使用 v（或）运算来获得两个不同八卦的乘积，从而得到具有两个阳线的乘积。四元数群对该乘积取补集，以获得 i、j 或 k 之一。二面体群在 jk = ☵ v ☶ = ☴ = T☳ = − i 的情况下不使用补集。两个不同因子的顺序决定了乘积是简单的还是补集的，因此在二面体群中 kj = i。
由于一个元素的负值是其补集，所以一个元素与其负值的或运算结果为☰ = 1。对于四元数群，可以将负号移到等式另一边，使 i、j 或 k 的平方为 −1。然而，在二面体群中，j2 = +1 = k2。可以用元素的任何一种符号来确认群运算的结合律。这些群以它们所支持的四维代数而闻名，即四元数和分裂四元数。
总之，八个八卦及其顺序和补集结构提供了表示任何八阶群的方式。循环群对八卦的表示没有特别的意义。事实上，这些八卦结构可以看作是抽象代数和二进制计数法的先驱。