化学工程过程导论/非稳态能量和物料衡算

什么是累积？

回顾一下，到目前为止，本文假设所有系统都处于**稳态**，这意味着没有质量、能量或其他守恒量的积累。然而，在许多情况下，例如当操作水平发生变化时，系统将不处于稳态，并且质量和能量将随着时间推移而**累积**。

关于累积最重要的是要记住，它与系统中物质的实际数量有关，而不是与任何类型的流速有关。如果您记住您是在处理实际的系统属性而不是流速，这将有助于在非稳态平衡中保持术语的正确性。

非稳态物料衡算

让我们从您应该已经熟悉和喜爱的通用平衡方程开始推导非稳态物料衡算

$In-Out+Generation=Accumulation$

用我们通常用于输入、输出和生成的术语替换这些术语，我们得到

$\Sigma {\dot {m}}_{i,in}-\Sigma {\dot {m}}_{i,out}+{\dot {m}}_{i,gen}=Accumulation$

现在我们必须提出累积的数学公式。与该方程中的所有其他术语不同，其他术语处理的是进入系统的能量流动，而累积处理的是系统在某个时间点已经存在的能量量，更具体地说，它是如何随时间推移而变化的。

能量累积速度将不会是恒定的，除非它为零（否则世界上所有反应堆要么会因过量的质量和能量积聚而爆炸，要么会因所有反应物和产物都被排空而停止运行）。回想一下，如果累积达到零，系统处于稳态。大多数系统往往会在很长一段时间内趋于稳态（可能有多组稳态条件，但这里不涉及），如下所示

这样的系统被称为**自调节**（或**自然稳定**）。如果一个系统不是自调节的，那么必须使用特殊控制技术（参见 控制系统）来强制系统进入稳态。

为了考虑累积速度的变化，我们必须考虑在非常短的时间内变化率，实际上短到几乎为零，并且累积与时间的关系曲线类似于一条直线。这条直线在时间 t 处的斜率近似为

$Slope={\mbox{ Accumulation rate at time t}}={\frac {M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}}{\Delta t}}$

因此我们可以写下以下内容

$Accumulation={\frac {M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}}{\Delta t}}$

然后，我们将这个累积代入上面的物料衡算，得到物料衡算

${\frac {M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}}{\Delta t}}=\Sigma {\dot {m}}_{i,in}-\Sigma {\dot {m}}_{i,out}$

在实际应用中，这个方程通常乘以$\Delta t$。然后，不再考虑流量，而是定义一个新的量

$\Delta m_{i}={\dot {m}}_{i}*\Delta t$

这个量是在有限的时间内进入系统的总质量。将这个定义代入质量平衡，得到以下

非稳态质量平衡

$\Sigma \Delta m_{i,in}-\Sigma \Delta m_{i,out}+m_{i,gen}=M_{sys,t+\Delta t}-M_{sys,t}$

例子:

一个进料流包含 $50{\frac {kg}{h}}$ 的水和 $1{\frac {kg}{h}}$ 的乙醇进入一个蒸馏塔。蒸馏塔通常有两个出口流，称为釜底和冷凝液。在稳态下，冷凝液中乙醇的质量分数为 12%，总冷凝液流量为 $9{\frac {kg}{h}}$。

有一天，老板打电话来说需要提高产量，于是你将进料增加到 $60{\frac {kg}{h}}$。两小时后，蒸馏塔发生了液泛。

a. 液泛的原因是什么？

b. 假设整个过程的总出口质量流量保持不变，那么塔内的总质量积累是多少？

c. 描述两种可以改变流量以达到新的稳态的方法。新的稳态将产生与旧稳态相同的出口浓度吗？解释一下。（提示：分离效率与两个出口流量之比有什么关系？你可能需要做一些研究）

非稳态能量平衡

让我们先检查一下我们目前所知道的，并在等式右边加上积累项（尚未用数学定义），因为我们不再处于稳态

$\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,in}-\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,out}+\Sigma {\dot {Q}}_{j}+{\dot {W}}_{s}=Accumulation$

遵循质量平衡的逻辑，我们得到积累项为

${\frac {E_{sys,t+\Delta t}-E_{sys,t}}{\Delta t}}$

因此，我们得到

$\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,in}-\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,out}+\Sigma {\dot {Q}}_{j}+{\dot {W}}_{s}={\frac {E_{sys,t+\Delta t}-E_{sys,t}}{\Delta t}}$

类似于质量平衡的情况，我们只能使用此方程式考虑**总**能量变化量在**总**时间段内的变化。为了做到这一点，我们将上面整个方程式乘以从某个起点到目标点的时间变化量。

现在我们需要一些定义

1. $Q={\dot {Q}}*\Delta t$ 是时间段内的**总**热量流。
2. $W_{s}={\dot {W}}_{s}*\Delta t$ 是时间段内的**总**轴功。
3. ${\dot {m}}_{i}*\Delta t=\Delta m_{i}$ 是由于流 i 在时间段内流入（或流出）系统的**总**质量流量。
4. ${\dot {H}}_{i}*\Delta t=H$ 是由于流 i 在时间段内流入（或流出）系统的**总**焓。

这里的主要假设是，**为了使此方程式有效，等号左侧的焓、热量流速和轴功必须保持不变，或者必须使用整个时间段的平均值**。该假设是否有效取决于具体情况（例如，取决于向您的过程提供物质的过程本身是否处于稳定状态）。

考虑到这些因素，我们乘以时间变化量以获得以下**非稳态**能量平衡。

非稳态能量平衡

$\Sigma ({\frac {1}{2}}\Delta {m}v^{2}+\Delta {m}gh+{H})_{i,in}-\Sigma ({\frac {1}{2}}\Delta {m}v^{2}+\Delta {m}gh+{H})_{i,out}+\Sigma {Q}_{j}+{W}_{s}={E_{sys,t+\Delta t}-E_{sys,t}}$