线性代数入门/矩阵

动机

矩阵的一个重要应用是求解线性方程组。以下的一些定义可以被视为“为求解线性方程组而设计”。

一些术语

定义。

一个具有 *m* 行和 *n* 列的矩阵。

(矩阵) 矩阵（复数：矩阵）是一个数字的矩形阵列。水平单元是一个 行，而垂直单元是一个 列。第 $\color {blue}i$th 行 和第 $\color {red}j$th 列 中的元素是矩阵的第 $({\color {blue}i},{\color {red}j})$th 项。

一个 $m\times n$ (读作“m 行 n 列”) 是一个拥有 $m$ 行和 $n$ 列的矩阵，$m\times n$ 是该矩阵的 大小。行从上到下计数，列从左到右计数。如果矩阵的大小为 $1\times 1$，我们简单地称该矩阵为一个 数，在这种情况下不需要括号。所有 $m\times n$ 矩阵的 集合，其中包含 实数元素，记为 $M_{m\times n}(\mathbb {R} )$。通常用 大写字母表示 矩阵，而用 小写字母表示其 元素。例如，$A=(a_{ij})_{m\times n}$ 表示一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，其元素为 $a_{ij}$，其中 $1\leq i\leq \underbrace {m} _{\text{no. of rows}}$ 且 $1\leq j\leq \underbrace {n} _{\text{no. of columns}}$。（如果矩阵的大小已经提到，或者矩阵的大小不重要，我们可以省略指定矩阵大小的下标。）

定义. （矩阵相等）两个矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 和 $B=(b_{ij})_{k\times \ell }$ 相等，如果

1. $m=k$,
2. $n=\ell$ 且
3. $a_{ij}=b_{ij}$ 对于每一对 $(i,j)$.

我们写 $A=B$ 如果 $A$ 和 $B$ 是 相等 的。

备注。

• 换句话说，如果两个矩阵具有 相同 的大小和 相同 的元素，则它们相等。
• 如果 $A$ 和 $B$ 是 不 相等的，我们写 $A\neq B$.

练习。 考虑以下三个矩阵 $A,B$ 和 $C$. $$A=(a_{ij})_{m\times n}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}},\quad B=(b_{ij})_{k\times \ell }={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}\;{\text{and}}\quad C=(c_{ij})_{p\times q}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$$

1 从以下语句中选择正确语句。

	$A=B$
	$A=C$
	$B=C$
	$A=B=C$
	$A\neq B\neq C$

2 从以下语句中选择正确语句。

	$a_{12}=2$
	$b_{23}=6$
	$a_{31}=c_{31}=3$
	$a_{ij}=b_{ji}$ 对于每一对 $(i,j)$

3 从以下语句中选择正确的语句。

	$m=p=2$
	$n=k=2$
	$m=\ell =3$
	$p=q=2$

练习. 令 $A=(a_{ij})$ 是一个 $3\times 2$ 矩阵，其中每个条目 $a_{ij}=i+2j$。写下 $A$ 以数字数组的形式。

(a11 a12 )

(a21 a22)

(a31 a32)

$A={\begin{pmatrix}3&5\\4&6\\5&7\end{pmatrix}}.$

特别是，如果一个矩阵的行数和列数相同，那么它就具有一些很好的性质。鉴于这种矩阵的形状（类似于正方形），我们将此类矩阵定义为方阵.

定义. (方阵) 一个 方阵 是一个行数和列数相同的矩阵。

我们还将介绍一个术语，即 主对角线，它在某些情况下会很有用。

定义. (主对角线) 一个 $n\times n$ 矩阵（它是一个 方阵）的 主对角线 是指 $(1,1)$，$(2,2)$，$\ldots$，$(n,n)$ 位置的元素的 集合.

举例. 矩阵 $I_{3}={\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&0\\0&{\color {green}1}&0\\0&0&{\color {green}1}\end{pmatrix}}$ 的主对角线是 $1,1$ 和 $1$ 的集合.

备注. 矩阵 $I_{3}$ 是 单位矩阵（将在后面定义）。

接下来，我们将定义一些矩阵类型，它们的定义都与 主对角线 有关。

定义. (三角矩阵) 一个 三角矩阵 是指一个 上三角矩阵 或一个 下三角矩阵（包含两者）。

一个 上三角矩阵 是指一个 方阵，其 主对角线 下方 的所有元素都是 $0$.

一个 下三角矩阵 是指一个 方阵，其 主对角线 上方 的所有元素都是 $0$.

备注。

• 等价地，用符号表示，矩阵 $A=(a_{ij})$ 是 上三角矩阵 如果 $a_{ij}=0$ 当 $i>j$，

它是 下三角矩阵 如果 $a_{ij}=0$ 当 $i<j$.

• 上三角矩阵和下三角矩阵的形式如下：

$\underbrace {\begin{pmatrix}*&*&*&\cdots &*\\0&*&*&\cdots &*\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&0&\cdots &0&*\end{pmatrix}} _{\text{Upper triangular matrix}}\quad {\text{and}}\quad \underbrace {\begin{pmatrix}*&0&\cdots &0&0\\*&*&0&\cdots &0\\*&*&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\*&*&\cdots &*&*\end{pmatrix}} _{\text{Lower triangular matrix}}$ 分别是 **上三角矩阵** 和 **下三角矩阵**，其中 $*$ 是一个 任意 元素（可能是 0 也可能不是）。

定义.（对角矩阵） 对角矩阵 是一个 方 矩阵，它的元素 不 在 主对角线 上的都是 $0$.

备注。

• 对角矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。
• 对角矩阵的形式为

${\begin{pmatrix}*&0&0&\cdots &0\\0&*&0&\cdots &0\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&\cdots &*\end{pmatrix}}$，其中 $*$ 是一个 任意 元素。

练习。

1 从以下语句中选择所有正确的语句。

	每个元素都是 $0$ 的矩阵是对角矩阵。
	每个元素都是 $0$ 的矩阵是三角矩阵。
	对角矩阵是三角矩阵。
	三角矩阵是对角矩阵。
	对角矩阵是 唯一 一种既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵。

2 从以下矩阵中选择所有上三角矩阵。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

3 从以下矩阵中选择所有下三角矩阵。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

4 从以下矩阵中选择所有三角矩阵。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

5 从以下矩阵中选择所有对角矩阵。

	${\begin{pmatrix}1&2&2\\0&2&3\\0&0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\3&5&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

我们这里提到的最后一个术语是 子矩阵，有时会用到。

定义。 (子矩阵) 设 $A$ 是一个矩阵。一个 子矩阵 of $A$ 是从 $A$ 中 移除 一些 行 或 列 (包括) 得到的矩阵。

备注。 按照惯例，每个矩阵都是其自身的 子矩阵。

练习。

从以下矩阵中选择 ${\begin{pmatrix}3&5&7\\4&6&8\\5&7&9\end{pmatrix}}$ 的所有子矩阵。

	${\begin{pmatrix}3&5&7\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$
	2
	7
	${\begin{pmatrix}3&7\\5&9\end{pmatrix}}$

矩阵运算

在本节中，我们将介绍不同的矩阵运算。一些运算与数系中的运算截然不同，特别是矩阵乘法。

定义。 （矩阵加减法）设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 和 $B=(b_{ij})_{m\times n}$ 是两个 相同大小 的矩阵。我们定义矩阵 加法 和 减法 为 $$A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij})_{m\times n}.$$

定义。 （矩阵的标量乘法）设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 是一个矩阵。我们定义矩阵的 标量乘法 为 $$cA=(ca_{ij})_{m\times n}.$$

接下来，我们将定义 矩阵乘法，它与数系中的乘法有很大不同。

定义。

矩阵乘法的示例。

(矩阵乘法) 令 $A=(a_{ij})_{{\color {blue}m}\times {\color {green}n}}$ 和 $B=(b_{ij})_{{\color {green}n}\times {\color {red}\ell }}$ 是两个矩阵。矩阵乘积 $AB$ 指 $A$ 和 $B$ 的乘积，定义为一个 ${\color {blue}m}\times {\color {red}\ell }$ 的矩阵，其 $({\color {purple}i},{\color {brown}j})$ 项是 $$\sum _{k=1}^{n}(a_{{\color {purple}i}k}b_{k{\color {brown}j}})=a_{{\color {purple}i}1}b_{1{\color {brown}j}}+a_{{\color {purple}i}2}b_{2{\color {brown}j}}+\cdots +a_{{\color {purple}i}n}b_{n{\color {brown}j}}.$$ 如果 $A$ 的列数 ($\color {blue}m$) 与 $B$ 的行数 ($\color {red}\ell$) 不同，则乘积 $AB$ 没有定义。

另一方面，方阵 的正 幂 的定义与数系中的定义非常类似。

定义。 （方阵的正幂）令 $A$ 为一个 方 阵。$p$ 次方，写成 $A^{p}$，其中 $p$ 是一个正数，是指 $p$ 个 $A$ 的 乘积，即 $$A^{p}=\underbrace {AA\cdots A.} _{{\text{product of}}\;p\;{\text{copies of}}\;A}$$

练习。

从以下陈述中选择所有正确的陈述。

	${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}}$.
	${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}22&28\\49&64\end{pmatrix}}$
	$(a_{ij})_{n\times n}^{2}=(a_{ij}^{2})_{n\times n}$.
	$A+B=B+A$ 对于每个矩阵 $A$ 和 $B$。
	$((ij)a_{ij})_{m\times n}=ij(a_{ij})_{m\times n}$.

然后，我们将讨论数字系统中零和一的矩阵类似物，即 零矩阵 和 单位矩阵，它们在数字系统中类似于数字 $0$ 和 $1$。

定义。（零矩阵）零矩阵 是 $m\times n$ 矩阵，其所有元素均为 $0$，用 $O_{m\times n}$ 表示，如果不存在歧义，则简称为 $O$。

备注。 零矩阵类似于数系中的数字 $0$，因为

1. 对于每个与零矩阵大小相同的矩阵 $A$，我们有 $O+A=A+O=A$。
2. 如果乘积定义良好，对于每个矩阵 $A$，我们有 $OA=AO=O$。

定义。（单位矩阵）$n\times n$ 单位矩阵，用 $I_{n}$ 表示，如果不存在歧义，则简称为 $I$，是 $n\times n$ 对角矩阵，其对角元素均为 ${\color {green}1}$。

备注。 单位矩阵类似于数系中的数字 $1$，因为如果乘积定义良好，对于每个矩阵 $A$，我们有 $AI=IA=A$。

示例。

• 零矩阵 $O_{2\times 1}$ 是 ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
• 单位矩阵 $I_{2}$ 是 ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

命题. (矩阵运算的性质) 令 $A,B$ 和 $C$ 为矩阵，使得以下运算定义良好，令 $c$ 为标量。那么，以下成立。

(i) (矩阵乘法的结合律) $(AB)C=A(BC)$.

(ii) (零和一的矩阵乘法) $AO=O,\,OB=O,\,AI=A,\,IB=B$

(iii) (矩阵乘法的分配律) $\underbrace {A(B+C)=AB+AC} _{\text{左分配律}},\,\underbrace {(A+B)C=AC+BC} _{\text{右分配律}}$

(iv) $c(AB)=(cA)B=A(cB)$.

备注. 矩阵乘法一般来说 不满足交换律，即矩阵乘积 $AB$ 通常不同于矩阵乘积 $BA$。

接下来，我们将介绍在数系中不存在的一种运算，即转置。

定义. (矩阵转置) 令 $A=(a_{{\color {purple}i}{\color {green}j}})_{{\color {blue}m}\times {\color {red}n}}$ 为矩阵。矩阵 $A$ 的 转置 是矩阵 $$A^{T}=(a_{{\color {green}j}{\color {purple}i}})_{{\color {red}n}\times {\color {blue}m}}.$$

备注. 从定义可以看出， $1\times 1$ 矩阵的 转置 就是它本身。

示例。

这个例子说明了这一点。

令 $A$ 为矩阵 ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}$。那么，$$A^{T}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \left(A^{T}\right)^{T}={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}=A.$$

命题. (矩阵转置的性质) 令 $A$ 和 $B$ 为矩阵，使得以下运算均有定义。则，以下结论成立。

(i) (自逆性) $(A^{T})^{T}=A$

(ii) (线性) $(aA+bB)^{T}=aA^{T}+bB^{T}.$ 对于每个实数 $a$ 和 $b$

(iii) ('逆乘法性') $\color {green}(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

定义。

一个 $5\times 5$ 对称矩阵的对称模式。

(对称矩阵) 矩阵 $A$ 是一个 对称矩阵，如果 $$A^{T}=A.$$

定义. (反对称矩阵) 矩阵 $A$ 是一个 反对称矩阵，如果 $$A^{T}={\color {green}-}A.$$

命题。 （对称矩阵和反对称矩阵的必要条件）对称矩阵或反对称矩阵 必须是 方阵。

证明。 这可以从观察到矩阵转置与原矩阵大小相同 当且仅当 矩阵为 方阵 推导出，因为矩阵转置的行列交换，只有当行数等于列数时大小才保持不变。

$\Box$

备注。 这 不 意味着每个方阵都是对称矩阵或反对称矩阵。 矩阵为方阵本身的条件 不足够（但 必要）使其成为对称矩阵或反对称矩阵。

示例。 ${\begin{pmatrix}1&{\color {blue}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}2}&8&{\color {green}4}\\{\color {red}3}&{\color {green}4}&5\end{pmatrix}}$ 是对称矩阵，而 ${\begin{pmatrix}0&{\color {blue}2}&-{\color {red}3}\\-{\color {blue}2}&0&-{\color {green}4}\\{\color {red}3}&{\color {green}4}&0\end{pmatrix}}$ 是反对称矩阵，其转置为 ${\begin{pmatrix}0&-{\color {blue}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}2}&0&{\color {green}4}\\-{\color {red}3}&-{\color {green}4}&0\end{pmatrix}}$。 在反对称矩阵中，所有位于主对角线上的元素必须为 0。