线性代数导论/线性方程组

矩阵形式的线性方程组

在以矩阵形式表示线性方程组之前，我们应该定义什么是线性方程组。

定义。 （线性方程组）一个线性方程组（SLE）在$n$ 个未知数$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 是以下形式的方程族 $${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\quad \qquad \qquad \qquad \vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m},\end{cases}}$$ 其中 $a_{ij}$ 和 $b_{k}$ 是常数。

备注。

• 在其他一些定义中，单个线性方程可以被视为线性方程组，但由于我们已经可以很容易地解出单个线性方程，所以我们对这种情况不感兴趣，因此我们不包括这种可能性。

我们经常使用术语“一致”和“不一致”来描述线性方程组的解的个数。

定义。

这个由三个线性方程组成的二元方程组是不一致的，因为三条直线没有共同的交点。

（线性方程组的一致性）

如果一个线性方程组至少有一个解，那么它就是一致的。否则，它就是不一致的（即，如果它没有解，则它就是不一致的）。

备注。

• 正如我们所见，SLE 可以没有解，一个唯一解，或无穷多个解。因此，SLE 是一致的当且仅当它有一个唯一解或无穷多个解。

示例。 （一致的 SLE）考虑 SLE $${\begin{cases}x+2y=3&\quad (1)\\3x+6y=9&\quad (2)\end{cases}}.$$ 由于 $$(2)\iff 3x+6y=9\iff (3/3)x+(6/3)y\iff (9/3)\iff x+2y=3\iff (1),$$ 这些解是 $(x,y)$，使得 $x+2y=3$。因此，这个 SLE 有无穷多个解，这个 SLE 是一致的。

示例：（不一致的 SLE）考虑 SLE $${\begin{cases}x+2y=3&\quad (1)\\x+2y=4&\quad (2)\end{cases}}.$$ 将 $(1)$ 代入 $(2)$，我们得到 $$3=4$$，这是错误的，因此不存在 $(x,y)$ 使得两个方程都满足。也就是说，SLE 没有解，因此它是不一致的。

示例：（SLE 的应用）假设十瓶橙汁被分配给一只鸡、一只鸭和一只鹅。已知鸡和鸭的橙汁数量相同，鹅比鸡多一瓶橙汁，那么每只动物分配了多少瓶橙汁？

解答：用 $c,d$ 和 $g$ 分别表示分配给鸡、鸭和鹅的橙汁瓶数。那么，根据情况和给定条件，我们有以下 SLE：$${\begin{cases}c+d+g=10&\quad (1)\\c=d&\quad (2)\\g=c+1&\quad (3)\end{cases}}$$ 其中 $c,d,g$ 都是非负整数。

将 $(2)$ 和 $(3)$ 代入 $(1)$，我们有 $$c+c+c+1=10\implies c=3.$$ 因此，$d=c=3$，和 $g=c+1=4$.

因此，鸡和鸭各分配了 三 瓶橙汁，鹅分配了 四 瓶橙汁。

练习。

1 从以下选项中选择 SLE。

	$${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\2x+3y=4\end{cases}}$$
	$${\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}$$
	$${\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}$$
	$${\begin{cases}\pi x+{\sqrt {\pi }}y=\ln 2\\x+y{\sqrt {2}}=2\end{cases}}$$

2 每个学生的最终分数（最高分是$100$）是学生在考试 1 和考试 2 中分数的加权平均值（考试 1 和考试 2 的满分都是$100$）。学生 A 在考试 1 和考试 2 中分别获得了$90$ 和$80$ 分，学生 B 在考试 1 和考试 2 中分别获得了$75$ 和$100$ 分。假设考试 1 和考试 2 的分数权重分别是$w_{1}$ 和$w_{2}$。已知学生 A 的最终分数恰好是$85.23$。以下哪个（些）是正确的？

	给定信息不足以计算$w_{1}$ 和$w_{2}$
	权重的一种可能分配是$(w_{1},w_{2})=(0.6,0.390375)$
	学生 B 的最终分数与学生 A 的最终分数相同
	学生 B 的最终分数严格高于学生 A 的最终分数
	学生 B 的最终分数严格低于学生 A 的最终分数
	我们不知道学生 B 的最终分数是高于、低于还是与学生 A 的最终分数相同

在定义了一个 线性方程组 后，我们可以用多种方式将其表示成矩阵形式，如下定义所示。

定义。 (系数矩阵和增广矩阵) 令 $${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\quad \qquad \qquad \qquad \vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$$ 是未知量 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的线性方程组，其中 $a_{ij}$ 和 $b_{k}$ 是常数。

矩阵 ${\color {green}(a_{ij})_{m\times n}}$ 是该方程组的 系数矩阵，而矩阵 $$\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{n}\end{array}}\right)$$ 是该方程组的 增广矩阵。

备注。

• 增广矩阵中的竖线是 可选的，它用来将线性方程组中 '=' 左侧的常数与右侧的常数隔开。
• 该方程组等价于

$$\underbrace {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}} _{{\text{denoted by}}\;A}\underbrace {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}} _{{\text{denoted by}}\;\mathbf {x} }=\underbrace {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}} _{{\text{denoted by}}\;\mathbf {b} },$$ 可以改写为 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

• 增广矩阵 提供了求解线性方程组的 所有必要信息，因为求解线性方程组时不需要未知数的符号。

示例。 （系数矩阵和增广矩阵）考虑线性方程组 $${\begin{cases}w+x+y=1\\w+z=3\\x+z=8\end{cases}}$$，可以被表示为 $${\begin{cases}w+x+y+0z=1\\w+0x+0y+z=3\\0w+x+0y+z=8\end{cases}}.$$

该 SLE 的 系数矩阵 是 $${\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&0&0&1\\0&1&0&1\end{pmatrix}},$$，而该 SLE 的 增广矩阵 是 $$\left({\begin{array}{cccc|c}1&1&1&0&1\\1&0&0&1&3\\0&1&0&1&8\end{array}}\right).$$ 我们也可以将此 SLE 表示为 $${\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&0&0&1\\0&1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}},$$，它具有 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 的形式。

练习。

1 从以下选项中选择 SLE。

	$(a_{ij})_{3\times 3}$
	$\left({\begin{array}{cc|c}1&2&3\\4&5&6\end{array}}\right)$
	${\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$
	$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 其中 $A$ 是一个 $3\times 2$ 矩阵，$\mathbf {x} ,\mathbf {b}$ 是 $3\times 1$ 矩阵。

2 一个 SLE 由增广矩阵$${\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&6\\0&0&0&0&1&0&3\\0&0&0&1&0&0&8\\0&0&0&0&0&1&2\end{pmatrix}}.$$ 选择正确的说法。

	一个可能的解是$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})=(0,0,6,3,8,2)$
	一个可能的解是$(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})=(0,0,6,8,3,2)$
	该 SLE 的系数矩阵大小是$6\times 7$
	该 SLE 有唯一解。

3 以下哪个（些）是代表 SLE $${\begin{cases}x+2y=3\\6x+8y+2z=0\end{cases}}$$ 的增广矩阵？

	该 SLE 的增广矩阵不存在。
	${\begin{pmatrix}1&2&0&3\\6&8&2&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&2&3\\6&8&2\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&2&0\\6&8&2\end{pmatrix}}$

4 从以下选项中选择代表不一致 SLE 的增广矩阵。

	${\begin{pmatrix}1&1&1\\6&6&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}}$
	$I_{2}$
	$I_{3}$
	$O_{2\times 2}$

高斯-约旦消元法

定义。 (初等行变换) 我们可以在一个 矩阵 上执行 三种 类型的 初等行变换 (ERO)，如下所示

• (类型 I) 交换 两个不同的行
• (类型 II) 用 非零 标量 乘以 一行
• (类型 III) 将 一行 的 标量倍数 加 到 另一行

备注。 我们使用以下符号来表示 ERO

• $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{m}$: $m\times n$ 矩阵的行（使用 **粗体** 表示，因为行本质上是行 向量）
• $\mathbf {r} _{\color {blue}i}{\color {green}\leftrightarrow }\mathbf {r} _{\color {red}j}$: 交换 $\color {blue}i$ 行和 $\color {red}j$ 行
• ${\color {green}k}\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$: 乘以 $i$ 行的 非零 标量 $\color {green}k$
• ${\color {purple}k}\mathbf {r} _{\color {red}j}{\color {green}+}\mathbf {r} _{\color {blue}i}\to \mathbf {r} _{\color {blue}i}$: 加 $\color {purple}k$ 倍的 $\color {red}j$ 行到 $\color {blue}i$ 行

定义。 (行等价) 两个 相同大小 的矩阵，如果一个矩阵可以通过对另一个矩阵进行 一些 ERO 来得到，则它们彼此 行等价。

备注。

• 由于 ERO 可逆（根据以下命题），如果矩阵 $A$ 可以通过执行一些 ERO 从矩阵 $B$ 获得，那么 $B$ 也可以通过执行一些 ERO 从 $A$ 获得（每个 ERO 都是用于从 $B$ 获得 $A$ 的 ERO 的逆操作，以合适的顺序执行）。

• 因此，为了证明 $A$ 和 $B$ 的行等价性，只需证明 $A$ 可以通过一些 ERO 从 $B$ 获得（反之亦然，任意一个方向都可以）($A$ 和 $B$ 的大小相同）。

Example. (Demonstration of three types of EROs) Consider the matrix $$A={\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\end{pmatrix}}.$$ We perform some EROs as follows: $${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\end{pmatrix}}&{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\end{pmatrix}}\\&{\overset {\pi \mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}\pi &{\color {green}8}\pi &{\color {green}9}\pi \\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\end{pmatrix}}\\&{\overset {2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}\pi &{\color {green}8}\pi &{\color {green}9}\pi \\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\2({\color {blue}4})+{\color {red}1}&2({\color {blue}5})+{\color {red}2}&2({\color {blue}6})+{\color {red}3}\\\end{pmatrix}}\\&{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}\pi &{\color {green}8}\pi &{\color {green}9}\pi \\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\\end{pmatrix}}\\&{\overset {(1/\pi )\mathbf {r} _{1}\rightarrow \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\\end{pmatrix}}\\&{\overset {\mathbf {r} _{1}\rightarrow \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {blue}6}\\{\color {green}7}&{\color {green}8}&{\color {green}9}\\\end{pmatrix}}=A.\end{aligned}}$$ Each matrix shown here is row equivalent to $A$, since each of them can be obtained from $A$ by performing some EROs, and has the same size as $A$ (it also shows how to perform EROs in suitable order to reverse the EROs performed previously).

练习。

1 以下哪些矩阵与 $I_{3}$，大小为 $3\times 3$ 的单位矩阵，行等价？

	$I_{4}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}9&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0&0\\-7&1&12\\-8&0&1\\\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

2 选择正确的说法。

	在执行行初等变换 $\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3},\mathbf {r} _{3}\leftrightarrow \mathbf {r} _{1}$ 后，按此顺序，对至少三行的矩阵进行操作，所得矩阵与原矩阵相同。
	在执行行初等变换 $3\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}$ 后，对 $I_{2}$ 进行操作，我们得到 ${\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$。
	给定两个任意的行初等变换，对同一个矩阵按不同顺序进行操作，所得矩阵相同。
	给定两个任意的行初等变换，对同一个矩阵按不同顺序进行操作，所得矩阵不同。

命题. （行初等变换是可逆的）如果矩阵 $A$ 可以通过执行一些行初等变换从矩阵 $B$ 得到，那么 $B$ 也可以通过执行一些行初等变换（可能与从 $B$ 得到 $A$ 的行初等变换不同）从 $A$ 得到。

证明. 概述：每种类型的行初等变换都有一个逆过程（即，执行行初等变换及其逆过程，按任意顺序，对矩阵没有影响），这也是一个行初等变换本身，如下所示。

• 类型 I 行初等变换 $\mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}$ 的逆过程也是 $\mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}$。
• II 型 ERO 的逆过程 $k\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$ 是 II 型 ERO ${\frac {1}{k}}\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$（如果 $k=0$，则此 ERO 未定义，这就是为什么 $k$ 必须非零才能使 II 型 ERO 可逆）。
• III 型 ERO 的逆过程 $k\mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$ 是 III 型 ERO $-k\mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$

$\Box$

示例.（每种类型 ERO 的逆过程的说明）

• 类型 I

$${\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\{\color {red}1}&{\color {red}2}\\\end{pmatrix}}{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}$$

• 类型 II

$${\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}k}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}{\color {green}k}&{\color {red}2}{\color {green}k}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}{\frac {1}{k}}}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}{\color {green}{\cancel {k}}}\cdot {\color {green}{\frac {1}{\cancel {k}}}}&{\color {red}2}{\color {green}{\cancel {k}}}\cdot {\color {green}{\frac {1}{\cancel {k}}}}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}\quad (k\neq 0)$$

• III 型

$${\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}k}\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}+{\color {blue}3}{\color {green}k}&{\color {red}2}+{\color {blue}4}{\color {green}k}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}{\overset {{\color {green}-k}\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}{\color {red}1}{\cancel {+{\color {blue}3}{\color {green}k}-{\color {blue}3}{\color {green}k}}}&{\color {red}2}{\cancel {+{\color {blue}4}{\color {green}k}-{\color {blue}4}{\color {green}k}}}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\color {red}1}&{\color {red}2}\\{\color {blue}3}&{\color {blue}4}\\\end{pmatrix}}$$

练习。

1 选择与初等行变换 $2^{-1}\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$ 相反的初等行变换是.

	$2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$
	$2\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$2^{-1}\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$2^{-1}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$

2 选择与初等行变换 $2^{-1}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$ 相反的初等行变换是.

	$-2^{-1}\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}$
	$-2^{-1}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$
	$-2\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$

命题。 (行等价矩阵有相同解集) 设 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 和 $C\mathbf {y} =\mathbf {d}$ 是两个具有 相同方程式数量 和 相同变量数量 的线性方程组。如果 增广矩阵 $(A|\mathbf {b} )$ 和 $(C|\mathbf {d} )$ 是 行等价，那么这两个系统具有 相同的解集。

证明。 大纲：足以表明如果我们执行一个行初等变换，解集将保持不变。例如

• 第一类行初等变换

$${\text{Compare }}{\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}{\text{ and }}{\begin{cases}4x+5y=6\\x+2y=3\\\end{cases}}$$

• 第二类行初等变换

$${\text{Compare }}{\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}{\text{ and }}{\begin{cases}kx+2ky=3k\\4x+5y=6\\\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}\quad (k\neq 0)$$

• 第三类行初等变换

$${\text{Compare }}{\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\\\end{cases}}{\text{ and }}{\begin{cases}x+2y=3&\quad (1)\\(4+k)x+(5+2k)y=6+3k&\quad (2)\\\end{cases}}$$ $(1)-k(2):$ $$(4+k-k)x+(5+2k-2k)y=6+3k-3k\iff 4x+5y=6$$

$\Box$

练习. 考虑三个行等价矩阵 $$A={\begin{pmatrix}7&5&3&4\\6&2&3&2\\4&8&1&6\\\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&1\\0&0&1&2\\\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}7&5&3&4\\0&16&-3&10\\0&0&1&2\end{pmatrix}}.$$

1 解线性方程组 $${\begin{cases}7x+5y+3z&=4\\6x+2y+3z&=2\\4x+8y-z&=6\end{cases}}.$$

其唯一解为

$x=$

$y=$

$z=$

2 解线性方程组 $${\begin{cases}3x+5y+7z&=4\\-3x+16y&=10\\x&=2\end{cases}}.$$

其唯一解为

$x=$

$y=$

$z=$

定义. (主元) 矩阵中一行中的 主元 是该行中最 左边的非零元素.

例如： 矩阵 $${\begin{pmatrix}0&{\color {blue}2}&3\\0&0&{\color {blue}3}\\{\color {blue}8}&6&2\\\end{pmatrix}}$$ 的第一、第二和第三行的首项分别为 $2,3,8$。

练习。

1 矩阵 $O_{3\times 3}$ 的第一行的首项是什么？

	0
	1
	2
	3
	不存在

2 矩阵 $I_{3\times 3}$ 的第一行的首项是什么？

	0
	1
	2
	3
	不存在

定义： （行阶梯形）一个矩阵处于 行阶梯形 (REF) 当且仅当

1. 所有 零行 （如果存在）位于矩阵的 底部，并且
2. 每个非零行的 首项 总是严格位于 上方行 的 首项 的 右侧。

定义： （简化行阶梯形）一个矩阵处于 简化行阶梯形 (RREF) 当且仅当

1. 它处于行阶梯形 (REF)，
2. 每个 非零行 的 首项 等于 ${\color {green}1}$ （称为 首一），并且
3. 对于每个 首一， 同一列中的其他 元素均为 零。

例如： （REF 和 RREF 的示例）

• 以下矩阵处于 REF，但没有处于 RREF

$${\begin{pmatrix}{\color {blue}3}&2&1&1\\0&{\color {blue}2}&9&4\\0&0&0&{\color {blue}7}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {blue}3}&2&1&1\\0&{\color {blue}2}&9&4\\0&0&0&{\color {blue}7}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&{\color {blue}3}&2&1&0\\0&0&0&0&0&{\color {blue}2}\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$$

• 以下矩阵处于 RREF（因此也处于 REF）

$${\begin{pmatrix}{\color {blue}1}&{\color {green}0}&7&{\color {green}0}&1\\{\color {green}0}&{\color {blue}1}&9&{\color {green}0}&2\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {blue}1}&9\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {green}0}&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {blue}1}&{\color {green}0}&7&{\color {green}0}&1\\{\color {green}0}&{\color {blue}1}&9&{\color {green}0}&2\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {blue}1}&9\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {blue}1}&{\color {green}0}&7&{\color {green}0}\\{\color {green}0}&{\color {blue}1}&9&{\color {green}0}\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&0&{\color {blue}1}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&{\color {blue}1}&{\color {green}0}&{\color {green}0}\\0&{\color {green}0}&{\color {blue}1}&{\color {green}0}\\0&{\color {green}0}&{\color {green}0}&{\color {blue}1}\\\end{pmatrix}},I,O$$

• 以下矩阵不是 REF (因此也不在 RREF 中)

$${\begin{pmatrix}1&2&1&1\\{\color {red}0}&{\color {red}0}&{\color {red}0}&{\color {red}0}\\0&1&9&4\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&{\color {red}1}\\0&0&{\color {red}1}&2&1&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&2&3\\{\color {red}4}&5&6\\{\color {red}7}&8&9\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&{\color {red}1}\\0&{\color {red}1}&0\\{\color {red}1}&0&0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {red}1}&0&0\\0&{\color {red}1}&0\\0&{\color {red}1}&0\\\end{pmatrix}}$$

练习。

1 从以下选项中选择 RREF(s)。

	${\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0&2&2\\0&2&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\0&0\end{pmatrix}}$
	${\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&2&0\end{pmatrix}}$

2 矩阵 $${\begin{pmatrix}x&0&0&1\\0&x&2x&0\\x&x&1&3\end{pmatrix}}$$ 为行最简形式，$x$ 有多少个可能值？

	0
	1
	2
	3
	无穷多个

3 考虑矩阵 $${\begin{pmatrix}y&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&y&0&y&0\\0&0&0&y&0&0&0&y\\0&0&0&0&0&0&y&y\\\end{pmatrix}}$$ 为行阶梯形式，$y$ 有多少个可能值？

	0
	1
	2
	3
	无穷多个

4 考虑矩阵 $${\begin{pmatrix}0&x&0&0\\0&0&y&0\\0&0&0&z\end{pmatrix}}$$ 为行最简形式，$(x,y,z)$ 有多少个可能值？

	6
	7
	8
	9
	无穷多个

定义. (高斯-约旦消元法) 高斯-约旦消元法 是对矩阵进行一些初等行变换将其转换为行最简形式的过程。其步骤如下：

1. 考虑最左侧的非零 列，例如第 $i$ 列。交换行（如果需要）使第 1 个 $a$ $i$ 非零。
2. 将第一行乘以$a^{-1}$，使得第$i$列的第一个元素为$1$。
3. 对于第$i$列中非零元素为$b$的每一行，加上$-b$倍的第一行，使得该行中元素$b=0$。
4. 如果除了第一行之外所有行都是零行，则操作完成。否则，考虑第一列，该列包含一个非零元素，且不在第一行，假设该列为第$j$列。交换第一行下方的行（如果需要），使得第二行在第$j$列的元素$c$为非零。
5. 将第二行乘以$c^{-1}$，使得第$j$列的第二个元素等于$1$。
6. 对于第$j$列中非零元素为$d$的每一行，加上$-d$倍的第二行，使得该行中元素$d=0$。
7. 重复以上过程，依次考虑每一行，直到所有行或列都被使用，或者剩余的行都是零行。最终得到的矩阵即为矩阵的RREF。

备注。

• 矩阵$A$的RREF是通过对$A$进行一些初等行变换得到的。

• 因此，每个矩阵都有其RREF，因为我们可以对任何矩阵应用高斯-若尔当消元法。

• 矩阵的RREF是唯一的（证明比较复杂，这里省略）。
• 在一些其他关于高斯-若尔当消元法的定义中，某些步骤可能有所不同，但我们也应该能够通过这些方法将矩阵转换为其RREF。
• 你可以访问这个网站，它可以帮助你进行初等行变换、高斯-若尔当消元法等相关计算。

示例。（高斯-约旦消元法的图示）$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&0&1\\3&3&2\\8&2&6\\\end{pmatrix}}&{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}3&3&2\\0&0&1\\8&2&6\\\end{pmatrix}}&{\text{step 1}}\\&{\overset {{\frac {1}{3}}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&0&1\\8&2&6\\\end{pmatrix}}&{\text{step 2}}\\&{\overset {-8\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&0&1\\0&-6&2/3\\\end{pmatrix}}&{\text{step 3}}\\&{\overset {\mathbf {r} _{2}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&-6&2/3\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 4}}\\&{\overset {-{\frac {1}{6}}\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&1&2/3\\0&1&-1/9\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 5}}\\&{\overset {-\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&0&7/9\\0&1&-1/9\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 6}}\\&{\overset {{\frac {1}{9}}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\overset {-{\frac {7}{9}}\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}&{\text{step 7}}\end{aligned}}$$

练习。

使用高斯-约旦消元法解线性方程组$${\begin{cases}x+2y=3\\4x+5y=6\end{cases}}$$。

其唯一解为

$x=$

$y=$

证明矩阵 $${\begin{pmatrix}1&4&2&1&0&0\\3&1&5&0&1&0\\0&1&0&0&0&1\end{pmatrix}}$$ 的行最简形式是 $${\begin{pmatrix}1&0&0&-5&2&18\\0&1&0&0&0&1\\0&0&1&3&-1&-11\\\end{pmatrix}},$$

并且 $${\begin{pmatrix}1&4&2\\3&1&5\\0&1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&2&18\\0&0&1\\3&-1&-11\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=I_{3}$$

命题. (确定线性方程组解的个数) 令 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 为一个由 $m$ 个线性方程组成的系统，包含 $n$ 个未知数。令 $R$ 为 增广矩阵 $(A|\mathbf {b} )$ 的 行最简形式，其大小为 $m\times (n+1)$。那么，以下结论成立。

• 如果 $R$ 在 ${\color {green}(n+1)}$列 中包含一个 主元，则该系统 无解
• 如果 $R$ 在 前 ${\color {green}n}$ 列 中 每一列 都包含一个 主元，但 在 ${\color {green}(n+1)}$列 中 没有 主元，则该系统有 唯一解。
• 如果 $R$ 在 ${\color {green}(n+1)}$列 中 没有首个1，并且 并非所有 的 前 ${\color {green}n}$ 列 都包含首个1，则该系统具有 无穷多解

备注： 由于 $R$ 仅需满足这三个条件中的一个，因此线性方程组的解的数量只能是 零（无解）、一（唯一解）或 无穷多（互斥或）。

示例： 由 $3\times 4$ 增广矩阵 $${\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&0\\{\color {green}0}&{\color {green}0}&{\color {green}0}&{\color {green}1}\\\end{pmatrix}}$$ 表示的 SLE 是 不一致的，因为它在第 4 列有首个 1。

由 $4\times 4$ 增广矩阵 $${\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&0&2\\0&{\color {green}1}&0&3\\0&0&{\color {green}1}&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$$ 表示的 SLE 具有唯一解，因为它在前 3 列中每个都有一个首个 1，但在第 4 列中没有。

由 $3\times 4$ 增广矩阵 $${\begin{pmatrix}{\color {green}1}&3&0&2\\0&0&{\color {green}1}&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}$$ 表示的 SLE 具有无穷多解，因为它在第 4 列中没有首个 1，并且并非所有前 3 列都包含首个 1（第 2 列不包含首个 1）。这个矩阵可以表示 SLE $${\begin{cases}x+3y=2\\z=3\\\end{cases}}$$ 如果我们令 $y=t$ 为 独立未知数，则 $x=2-3t$ 并且 $z=3$

备注。

• 独立未知数（或自由变量）是对应于 没有 首个 1 的列的未知数
• 依赖未知数（或基本变量）是对应于 有 首个 1 的列的未知数

练习. 给定矩阵 $${\begin{pmatrix}1&4&5&6&8\\4&6&7&4&4\\4&2&3&6&7\\1&7&5&3&6\\\end{pmatrix}}$$ 的行阶梯形为 $${\begin{pmatrix}1&0&0&0&{\frac {-31}{51}}\\0&1&0&0&{\frac {4}{3}}\\0&0&1&0&{\frac {-89}{51}}\\0&0&0&1&2\\\end{pmatrix}}.$$ 分别用 $A$, $B$ 和 $C$ 表示相应的线性方程组。

1 方程组 $A$ 有无解、有唯一解还是有无穷多解？

	无解
	有唯一解
	有无穷多解

2 方程组 $B$ 有无解、有唯一解还是有无穷多解？

	无解
	有唯一解
	有无穷多解

3 方程组 $C$ 有无解、有唯一解还是有无穷多解？

	无解
	有唯一解
	有无穷多解

定义. (齐次线性方程组) 如果一个线性方程组的形式为 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$，则称之为 齐次 线性方程组。一个 齐次 方程组 一定 是 相容 的，因为它有一个解，其中 每个 未知数都等于 零，该解被称为 平凡解。如果存在其他解，则被称为 非平凡解。

注： 根据线性方程组解的个数判定命题，可知一个 齐次 线性方程组要么有 唯一 解，要么有 无穷多个 解，因为齐次线性方程组必然 相容，所以不存在无解的情况。

例： （齐次线性方程组的例子）SLE $${\begin{cases}x+y+z&=0\\2x+8y+3z&=0\\2x+4y+6z&=0\\\end{cases}}$$ 是 齐次 的，因此它是相容的。

事实上，表示该 SLE 的增广矩阵的 RREF 是 $${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}},$$ 我们可以看到这个 SLE 的唯一解是 $(x,y,z)=(0,0,0)$，这就是 平凡解。

SLE $${\begin{cases}x+4y+5z&=0\\2x+3y+5z&=0\\x+2y+3z&=0\\\end{cases}}$$ 是 齐次 的，因此它是相容的。

事实上，表示该 SLE 的增广矩阵的 RREF 是 $${\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}},$$ 因此这个 SLE 有 无穷多个 解，因为前 3 列并非都包含主元，并且该矩阵的第 4 列没有主元。

命题： （齐次线性方程组有非平凡解的充分条件）一个 齐次 的包含 $m$ 个线性方程的线性方程组，如果有 ${\color {green}m<n}$，则该方程组必有 非平凡 解。

证明。 由 $m$ 个线性方程组成的齐次方程组的增广矩阵为 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ 是 $(A|\mathbf {0} )$，因此其行最简形式具有 $(R|\mathbf {0} )$ 的形式，其中 $R$ 的大小为 $m\times n$，因为有 $m$ 个线性方程和 $n$ 个未知数。

如果 $R$ 在其前 $n$ 列中每列都有一个主元 1，则 $R$ 中至少有 $n$ 行。然而，$R$ 只有 $m<n$ 行，矛盾。因此，齐次线性方程组没有唯一解。

由于一个线性方程组要么无解（对于齐次线性方程组这是不可能的），要么有唯一解（在本例中也是不可能的），要么有无穷多解，因此，齐次线性方程组必须有无穷多解，因此有一个非零解。

$\Box$

备注。

• 该命题没有断言如果一个齐次线性方程组有一个非零解，那么线性方程的个数严格小于未知数的个数（该命题的逆命题）

• 例如，在上面的例子中，即使线性方程的个数等于未知数的个数，线性方程组仍然可以有一个非零解

例。 齐次线性方程组 $${\begin{cases}x+y+z=0\\2x+5y+z=0\end{cases}}$$ 必须有一个非零解。

事实上，这个线性方程组的增广矩阵的简化行阶梯形式是： $${\begin{pmatrix}1&0&{\frac {4}{3}}&0\\0&1&-{\frac {1}{3}}&0\end{pmatrix}}.$$ 令 $z=t$ 为 独立未知数，我们有 $x=-{\frac {4}{3}}t,y={\frac {1}{3}}t$.