喷气推进/流体力学

单位和符号

基本单位

表 1.1：基本单位
量	名称	符号
长度	米	m
质量	千克	kg
时间	秒	s
温度	开尔文	K
物质的量	摩尔	mol

导出单位

表 1.2：导出单位
量	名称	符号	用基本单位表示
频率	赫兹	Hz	s-1
力	牛顿	N	m kg s-2
压力，应力	帕斯卡	Pa	N m-2
能量，功，热	焦耳	J	N m
功率	瓦特	W	J s-1
热容，熵	焦耳每开尔文		J K-1
比热容，比熵	焦耳每千克开尔文		J kg-1 K-1
比能	焦耳每千克		J kg-1
热导率	瓦特每米开尔文		W m-1 K-1

标准大气

表 1.3：标准大气中的 SI 单位
属性	符号	值
压力，海平面	P0	101,325 Pa
温度	T0	288.15K，15oC
重力加速度	g0	9.80665 m s-2
空气密度	ρ0	1.225 kg m-3
运动粘度	ν0	1.46070x10-5 m2 s-1
绝对粘度	μ0	1.7894x10-5 m2 s-1
温度递减率，（海平面至等温层，0-11km）		-6.5 K km-1
气体常数	R	287.074 J kg-1 K-1
定容比热	cV	717.986J kg-1 K-1
定压比热	cP	1004.76 J kg-1 K-1
比热容比	γ	1.4
声速，海平面	C0 (= 20.05*sqrt(T))	340.3065 m s-1

符号

表 1.5：标准符号
符号	定义
M	马赫数
M*	速度/声速状态，其中 M=1.0
P	压力
q	动压
R	气体常数
T	温度
W	质量流量
WTAP	流量参数
γ	比热容比
ρ	密度
下标/上标
0	地面
s	静止/流线
t	总（等熵滞止）
x	在正激波前面
y	在正激波后面
*	在 M=1 时

气体定律

内能	u = cv T
焓	h = cp T
开尔文至摄氏度	K = oC+273.15
理想气体	P V = m R T
在恒温下	P1/ P2 = V2/ V1
在恒压下	V1/ V2 = T1/ T2
在恒容下	P1/ P2 = T1/ T2
可逆绝热过程	P1V1γ=P2V2γ
	P1/ P2 = ( V2/ V1 )γ
	T1/ T2 = ( V2/ V1 )γ-1
	T2/ T2 = ( P2/ P1 )(γ-1)/γ
	P1/ P2 = ( ρ1/ ρ2 )γ
多变过程	P1V1n=P2V2n
	P1/ P2 = ( V2/ V1 )n
	T1/ T2 = ( V1/ V2 )1-n
	T1/ T2 = ( P1/ P2 )(n-1)/n;
伯努利方程	P/ρ + V2/2 + Z = 常数
稳态流动方程	q + h + V2/2 + Z = 常数
理想气体中的声速	$C={\sqrt {\gamma RT}}$
比热	R = cP - cV
	γ = cP / cV
马赫数	$M={\frac {V}{C}}$
可压缩流动
	$M^{2}={\frac {1}{\gamma -1}}{\frac {u^{2}}{c_{P}T}}$
	${\frac {P_{t}}{P_{s}}}=\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}$
	${\frac {T_{t}}{T_{s}}}=\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]$
	${\frac {\rho _{t}}{\rho _{s}}}=\left[1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right]^{\frac {1}{\gamma -1}}$
	${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left[{\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}{\frac {\gamma +1}{2}}}\right]^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}$
	$M^{*}=M{\sqrt {\frac {\frac {\gamma +1}{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}}$
	$\theta ={\frac {T}{T_{0}}}$

绝热过程

绝热过程是一个热力学过程，在这个过程中没有热量传递到工作流体或从工作流体中传递出去。在理想的气体涡轮机（布雷顿循环）中，压缩和膨胀过程是绝热的。我们将θ定义为与环境条件相关的过程中压力比。

$\theta _{2}=\left({\frac {P_{2}}{P_{0}}}\right)$

那么，对于绝热压缩，温度比τ为

$\tau _{2}={\frac {T_{2}}{T_{0}}}=\theta _{2}^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}$

对于空气，γ = 1.4 ，所以(γ-1)/ γ= 0.286 。

对数对数图简化了快速工程计算的分析。

图 1.3： 绝热过程，空气γ=1.4，在对数对数图上

示例 1.2：绝热过程和等压过程

标准海平面条件下的空气绝热压缩到 30 巴（0-3）；在恒定压力下加热到 1700K（3-4），然后绝热膨胀回 1 巴（4-5）。最终温度是多少，过程 3-4 中添加了多少热量？

参见图 1.3

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动能到流体温度

通过压力变化改变流体的速度会同时改变温度。压缩功提高了流体的表观温度。我们可以将马赫数与流体的内能联系起来。

空气动力学分析

空气动力学分析试图逐步分析空气动力学阶段的流动。实际设计包括大量的理论、计算和实验分析。

停滞或总温度和压力是衡量气体涡轮机中高速气流能量增加所需的。使用马赫数允许我们考虑气体的可压缩性。

可压缩流体流动方程

参见 [NACA 1135：可压缩流动的方程、表格和图表]。

连续性

在稳定流动中，对于流线管上的任何两个流动截面

$\rho _{1}u_{1}A_{1}=\rho _{2}u_{2}A_{2}$

或者以微分形式表示

${\frac {d}{dx}}(\rho uA)=0$

或者

${\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {du}{u}}+{\frac {dA}{A}}=0$

其中 $\rho$ 是流体的密度

$u$ 是流体单位质量的内能

以及

$A$ 是管道或通道的横截面积

动量

控制体积上的净力等于流体动量变化

dp=-ρ u du

能量

焓的变化与动能的变化保持平衡

dh + u du=0

其中 h 是单位质量的焓，u + pv，pv 是压强和体积的乘积

焓

气体的焓 h 在温度 T 下为

$h=c_{p}T$

其中 $c_{p}$ 是气体的定压比热容。对于空气，$c_{p}$ 约为 1.005 kJ/kg K。

熵

过程中的熵变可以表示为

$s_{2}-s_{1}=c_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)$

或者更方便地用压强表示

$s_{2}-s_{1}=c_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)$

滞止温度

停滞温度是指气体在绝热情况下被静止后的温度。将动能加入气体的内能，我们得到关系

$h_{t}=c_{p}T_{t}=c_{p}T+{\frac {u^{2}}{2}}$

$T_{t}=T+{\frac {u^{2}}{2c_{p}}}$

其中 T_t 是流体的总（停滞）温度。

总焓关系概括了等熵压缩机和涡轮中的能量变化。为了给气流增加能量，气体通过相对减速过程，逆着压缩机和扩散器表面，并获得能量。为了提取能量，气体加速，逆着喷嘴和涡轮叶片。

流体的马赫数为

$M={\frac {u}{a}}={\frac {u}{\sqrt {\gamma RT}}}$

代入

$T_{t}=T+{\frac {\gamma RTM^{2}}{2c_{p}}}$

因为 R= c_p - c_v 且 γ = c_p / c_v

$T_{t}=T\left(1+{\frac {\gamma M^{2}}{2}}(c_{p}-c_{v})/c_{p}\right)$

${\frac {T_{t}}{T}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)$

其中 $\gamma$（希腊字母gamma）是压力和体积之间的绝热膨胀系数 $p_{1}V_{1}^{\gamma }=p_{2}V_{2}^{\gamma }$

这是气体在绝热情况下被静止后的温度。

等熵停滞压力

${\frac {p_{t}}{p}}=\left({\frac {T_{t}}{T}}\right)^{\gamma /(\gamma -1)}$

${\frac {p_{t}}{p}}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{\gamma /(\gamma -1)}$

等熵停滞密度

${\frac {\rho _{t}}{\rho }}=\left({\frac {T_{t}}{T}}\right)^{1/(\gamma -1)}$

${\frac {\rho _{t}}{\rho }}=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)^{1/(\gamma -1)}$

管道流动

稳定无粘绝热准一维流动满足以下方程：

微分连续性方程

d (ρ u A) =0

微分动量方程

dp=-ρ u du

微分能量方程

dh + u du=0

重新整理连续性方程

${\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {du}{u}}+{\frac {dA}{A}}=0$

重新写动量方程

${\frac {dp}{\rho }}={\frac {dp}{d\rho }}{\frac {d\rho }{\rho }}=-udu$

${\frac {dp}{d\rho }}\equiv {\frac {\partial p}{\partial \rho }}$

声速为

a =(dp / dρ)^1/2

重新整理并代入

a²=(dp / dρ)

a² dρ / ρ = -u du

${\frac {d\rho }{\rho }}=-{\frac {udu}{a^{2}}}=-{\frac {u^{2}}{a^{2}}}{\frac {du}{u}}=-M^{2}{\frac {du}{u}}$

代入连续性方程

$M^{2}{\frac {du}{u}}-{\frac {du}{u}}-{\frac {dA}{A}}=0$

我们得到面积速度方程

${\frac {dA}{A}}=(M^{2}-1){\frac {du}{u}}$

因此，对于加速（du/u 为正），当马赫数小于 1 时，面积必须减小；当马赫数大于 1 时，面积必须增加。

马赫数与管道面积之间的关系与喉部面积 A^* 相关：

${\frac {A}{A^{*}}}={\frac {1}{M}}\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}$

温度关系为

${\frac {T}{T_{t}}}=\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-1}$

压力关系

${\frac {p}{p_{t}}}=\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-{\frac {\gamma }{2(\gamma -1)}}}$

还有密度关系

${\frac {\rho }{\rho _{0}}}=\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-{\frac {1}{2(\gamma -1)}}}$

下图显示了空气在 γ 为 1.4 时这些关系。

完全膨胀的气体当其温度降至绝对零度时，马赫数将趋于无穷大。

质量流量

上图显示了具有 γ=1.4 的流体经历绝热膨胀时的这种交换。当压力降至 0.528 时，声速（马赫 1）实现，并且对于特定质量流量的区域在此马赫数时最小。这种状态下的流动被称为阻塞，任何进一步降低管道面积都不会导致流加速。单位面积的质量流量为

${\dot {m}}=A\rho v$

${\dot {m}}=A\rho _{0}\left[{\frac {2}{\gamma +1}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{-{\frac {1}{\gamma -1}}}V$

喷嘴

喷嘴通过沿压力梯度膨胀将气体的内能转换为定向动能。

随着气体最初膨胀，体积增量小于速度增量，并且流束管收缩。在 M=1 时，效果平衡，对于 M>1，微分体积增量大于速度增量，需要发散流。喷嘴最窄的部分称为“喉部”。

减小固定几何形状的喷嘴出口处的压力会增加出口速度，直到喷嘴最小部分的速度变为声速。此时喷嘴被称为“阻塞”，进一步降低出口压力对喉部上游的流动没有影响。

最大出口速度取决于源气体的能量含量。

阻塞流动

阻塞流动是指在给定初始总条件下，可以通过通道的最大流动量。边界层效应进一步限制了真实喷嘴中的流动。

扩散器

扩散器将相对动能转换为压力。

理想扩散器将恢复停滞压力，但实际扩散器无法将流体速度降低到零，并且存在损失。这种扩散器恢复的压力为

$\pi _{d}=p_{t2}/p_{t0}$

亚音速扩散器是一个发散通道。扩散器在逆压梯度状态下工作，必须仔细控制边界层发展以避免流动分离。边界层可以通过提取或抽吸来补充能量，但这会带来能量和复杂性的成本。

在没有激波的情况下实现稳定的超音速扩散几乎是不可能的，因为不稳定性会随着流动迅速转变为通过法向激波而迅速变为亚音速并在收敛通道中加速而迅速放大。通常采用多个倾斜激波来最大程度地减少熵的增加。

激波

激波是一个薄边界，通过该边界，热传递和粘性加热使流动变为亚音速。上面的等熵关系不适用于激波。穿过激波（垂直于激波表面）的总温度保持不变，但总压力会损失。损失取决于入射马赫数。

正激波

激波后的马赫数 M₂ 为

$M_{2}^{2}={\frac {1+[(\gamma -1)/2]M_{1}^{2}}{\gamma M_{1}^{2}-(\gamma -1)/2}}$

较高的入射马赫数将过渡到较小的下游亚音速马赫数。

密度和速度关系

${\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}={\frac {(\gamma +1)M_{1}^{2}}{2+(\gamma -1)M_{1}^{2}}}$

压力关系

${\frac {p_{2}}{p_{1}}}=1+{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1)$

以及温度关系

${\frac {T_{2}}{T_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}=\left[1+{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}(M_{1}^{2}-1)\right]{\frac {2+(\gamma -1)M_{1}^{2}}{(\gamma +1)M_{1}^{2}}}$