运动学/线性运动
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- 1. 一个人用弹弓直接向上发射一块石头。石头初速度为 15 m/s。石头需要多长时间才能回到发射高度？
- 5. 一个男人沿着自动扶梯向下走需要 10 秒。他以相同的速度逆着自动扶梯向上走需要 15 秒。他以同样的速度沿着自动扶梯向下走需要多长时间？
先决条件：微积分
- 24. 从速度和加速度的定义出发，推导出恒加速度运动学方程 x = x0 + v0t + (1/2) at^2。
- 25. 一只蟑螂距离墙壁 1 厘米。它以 1 厘米/秒的速度沿一条直线远离墙壁运动，加速度为 1 厘米/秒^2，加加速度 (d^3 x/dt^3) 为 1 厘米/秒^3，d^4 x/dt^4 为 1 厘米/秒^4，依此类推。一秒钟后，这只蟑螂距离墙壁多远？
1. 3 秒。使用运动学方程 y = y0 + v0t + 1/2 at^2。令石头初始高度 y 为 0。将数值代入方程得到 0 = 15t - (1/2) 10t^2。分解因式并求解 t 得到 0 秒和 3 秒的解。因此石头需要 3 秒才能回到初始高度。
24. 最快的解法是写出 x 的泰勒级数，这将立即得到解。另一种解法是通过分离变量解微分方程。
25. e 厘米。位置的泰勒级数为 x = x0 + v0 t + (1/2!) a0 t^2 + (1/3!) j0 t^3 + ... 。由于 x0、v0、a0、... 均等于 1，而 t、t^2、t^3、... 均等于 1，因此有以下级数：x = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + ... 。这是一个求和等于 e 的级数，因此蟑螂在 1 秒后移动了 e 厘米。