纽结理论/纽结

初步定义

让我们从定义纽结开始。

一个纽结是指一个圆形在环境空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的光滑嵌入。最基本的纽结是平凡纽结，它本质上只是一个圆形 $\bigcirc$ （我们将在稍后正确定义它）。

一个具有 $n\in \mathbb {N}$ 个成分的链是指 $n$ 个不交圆形在三维空间中的光滑嵌入。因此，显然任何纽结都可以看作一个具有一个成分的链。类似于平凡纽结，最基本的链是平凡链，它本质上是 $n$ 个不交圆形。我们通常将一个 $n$ -平凡链表示为 $\bigcirc ^{n}$ 。因此，一个 $1$ -平凡链是一个平凡纽结。

在本章之前，我们提到过纽结理论是对区分纽结和链的研究。因此，我们需要定义链上的等价概念，才能区分链。

两个链在环境同伦的情况下等价。这里，环境同伦是指存在一个同伦，它是一个光滑的微分同胚族。两个链在具有相同的链类型的情况下被认为是相同的；因此链类型是链的等价类。类似地，纽结类型是纽结的等价类。我们在这里包含了光滑性，因为同伦对于环境空间中的嵌入来说太弱了，因为我们可以定义从一个链到平凡链的任何连续映射。

很容易看出链等价实际上是一种等价关系。

现在我们可以定义 $n$ -平凡链，它与 $n$ 个分离圆形等价。

现在我们可以定义一个从 $\mathbb {R} ^{3}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的投影映射，使得没有三条边通过同一点，并且没有两条边彼此相切。然后，我们通过在边上加断裂来指示上下交叉。我们称这个投影链为链图。

定理（莱德迈斯特定理）。每个链都有一个链图。此外，两个链在且仅在它们的链图通过有限个莱德迈斯特变换相关时等价。莱德迈斯特变换由三个非常标准的变换组成：RI - 扭曲，RII - 将一条线段移到另一条线段之上，RIII - 将一条线段移到交叉点之上或之下。

参考文献

Queen, M., On the Jones Polynomial: A Monica Queen Thesis, arXiv:2108.13835, 2021.