控制中的 LMI / 应用 / 直升机内环 LMI

控制中的 LMI / 应用 / 直升机内环 LMI

这是一个直升机内环 LMI。 优化方法和最优控制在旋翼机控制律社区中难以获得认可。 然而，这在参考论文中推导的 LMI 试图通过用于鲁棒最优控制的 LMI 来解决这些问题。

系统

连续时间

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&={\hat {A}}x(t)+B_{1}w(t)+{\hat {B_{2}}}u(t),\\z(t)&=C_{1}x(t)+D_{12}u(t)\\\end{aligned}}$

直升机模型由稳定性和控制导数给出，它们填充了上述动态方程中 ${\hat {A}},{\hat {B_{2}}}$ 矩阵的元素。

状态向量由刚性 6 自由度模型的典型元素给出。 $x={\begin{bmatrix}u,w,q,\theta ,v,p,\psi ,r\end{bmatrix}}^{T}$。 输入向量由 $u={\begin{bmatrix}\delta _{0},\delta _{1s},\delta _{1c},\delta _{T}\end{bmatrix}}^{T}$ 给出，它与主旋翼总距、纵向/横向循环以及尾旋翼总距叶片角（以弧度计）有关。

阵风扰动用 $w(t)$ 表示，并假设其本质上是随机的。 稳定性和控制导数矩阵建模为不确定性，如下所示

${\begin{aligned}{\hat {A}}=A+\Delta A,{\hat {B_{2}}}=B_{2}+\Delta B\\\end{aligned}}$

该 $\Delta$ 项表示直升机系统模型中的不确定性。

数据

此 LMI 所需的数据是稳定性和控制导数，这些导数填充了上述系统的 A 和 B 矩阵，可以从线性化非线性模型中获得。 它也可以从实验方法中获得，例如阶跃响应和扫频正弦波（系统辨识）。

控制架构

使用状态反馈控制律为上述直升机模型的内环设计了一种控制架构。

$u=Kx(t)$

内环控制的目标是设计一个完整的状态反馈律，使得闭环直升机系统满足以下 3 个性能指标。

优化问题

目标 1：闭环系统对于任何允许的不确定性都是内部稳定的。

目标 2：闭环系统的极点位于圆盘 $D(-q,r)$ 内，该圆盘的中心为 $-q+j_{0}$，半径为 $r,q>r>0$，对于任何可接受的不确定性。

目标 3：给定阵风扰动抑制指数 $\gamma$，对于任何可接受的不确定性，阵风扰动对选定飞行状态和控制输入的影响都在给定范围内，即

$\int _{0}^{\infty }\!\{x^{T}(t)Qx(t)+u^{T}(t)Ru(t)\}\ \mathrm {d} x<\gamma ^{2}\int _{0}^{\infty }\!w(t)^{T}w(t)\,\mathrm {d} t.$

其中 $w(t)\in L_{2}(0,\infty ).$ $Q$ 和 $R$ 是具有适当维度的加权矩阵，且 $Q=Q^{T}\geq 0,R=R^{T}>0.$

可以证明，如果下一节中描述的 LMI 成立，则可以使用状态反馈控制律来满足目标 1-3 中列出的内环性能指标。

• 目标：上述目标
• 变量：控制器增益
• 约束：旋翼飞行器动力学和建模的执行机构限制

LMI：H-无穷内环 D-稳定优化

本文推导了以下形式的 LMI，并断言如果存在一个常数 $\epsilon$，一个具有适当维度的矩阵 $Z$ 和一个对称正定矩阵 $P$，使得

${\begin{aligned}\\{\begin{bmatrix}\Psi _{11}&B_{1}&XC_{1}^{T}+Z^{T}D_{1}2^{T}&A_{\alpha }X_{+}B_{2}Z&XF_{1}^{T}+Z^{T}F_{2}^{T}&\epsilon H\\B_{1}^{T}&-\gamma ^{2}I&0&0&0&0\\C_{1}X+D_{12}Z&0&-I&0&0&0\\XA_{\alpha }^{T}+Z^{T}B_{2}^{T}&0&0&-rX&XF_{1}^{T}+Z^{T}F_{2}^{T}&0\\F_{1}X+F_{2}Z&0&0&F_{1}X+F_{2}Z&-\epsilon I&0\\\epsilon H^{T}&0&0&0&0&-\epsilon I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}$

其中，$\Psi _{11}=A_{\alpha }X+XA_{\alpha }^{T}+B_{2}Z+Z^{T}B_{2}^{T},A_{\alpha }=A+\alpha I$

这个LMI被证明满足目标1、2、3，控制律由以下公式给出：

${\begin{aligned}u(t)=Kx(t)\\K=ZX^{-1}\end{aligned}}$

结论

直升机内环控制设计的LMI提供了一种基于优化的方法来实现ADS-33E的1级操控品质。这是一种解决非常困难问题的新方法，通常采用经典控制方法，并进行大量的模拟飞行和飞行试验。

实现

指向CodeOcean或其他在线LMI实现的链接

相关LMI

指向其他密切相关的LMI的链接

• Optimal_Output_Feedback_Hinf_LMI

外部链接

记录和验证LMI的参考文献列表。

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - 马特·皮特的LMI控制课程。
• [1] - 基于鲁棒H∞ D-稳定化和PI跟踪配置的无人直升机多模飞行控制