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最优输出反馈 $H_{\infty }$ LMI

最优输出反馈控制是一个问题，它源于对系统输出信息的了解不完整。它与状态反馈的情况相关，其中状态的一部分是未知的。例如，这个问题可能出现在分散控制问题中，需要使用类似“观测器”的解决方案。一种这样的方法是使用卡尔曼滤波器，这是一种更经典的技术。然而，还存在其他方法，它们没有使用卡尔曼滤波器，例如下面使用LMI进行输出反馈的方法。该$H_{\infty }$控制方法构成一个优化问题，试图最小化系统的$H_{\infty }$范数。

系统

系统使用下面显示的9矩阵符号表示。

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\z\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B_{1}&B_{2}\\C_{1}&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&D_{21}&D_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\w\\u\end{bmatrix}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$是状态，$z(t)\in \mathbb {R} ^{p}$是受控输出，$y(t)\in \mathbb {R} ^{q}$是感测输出，$w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$是外源输入，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$是执行器输入，在任何$t\in \mathbb {R}$。

数据

$A$，$B_{1}$，$B_{2}$，$C_{1}$，$C_{2}$，$D_{11}$，$D_{12}$，$D_{21}$，$D_{22}$ 是已知的。

LMI: 最优输出反馈 $H_{\infty }$ 控制 LMI

以下是等效的。

1) 存在一个 ${\hat {K}}={\begin{bmatrix}A_{K}&B_{K}\\C_{K}&D_{K}\end{bmatrix}}$ 使得 $||S(K,P)||_{H_{\infty }}<\gamma$

2) 存在 $X_{1}$，$Y_{1}$，$Z$，$A_{n}$，$B_{n}$，$C_{n}$，$D_{n}$，使得

${\begin{bmatrix}X_{1}&I\\I&Y_{1}\end{bmatrix}}>0$

结论

上述LMI确定了$\gamma$ 在$H_{\infty }$ 范数上的上限。此外，控制器${\hat {K}}(A_{K},B_{K},C_{K},D_{K})$ 也可以被恢复。

$D_{K}=(I+D_{K2}D_{22})^{-1}D_{K2}$

$B_{K}=B_{K2}(I+D_{22}D_{K})$

$C_{K}=(I+D_{K}D_{22})C_{K2}$

$A_{K}=A_{K2}-B_{K}(I+D_{22}D_{K})^{-1}D_{22}C_{K}$

其中，

${\begin{bmatrix}A_{K2}&B_{K2}\\C_{K2}&D_{K2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{2}&X_{1}B_{2}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}\left[{\begin{bmatrix}A_{n}&B_{n}\\C_{n}&D_{n}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}X_{1}AY_{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}\right]{\begin{bmatrix}Y_{2}^{T}&0\\C_{2}Y_{1}&I\end{bmatrix}}^{-1}$

对于任何满秩的 $X_{2}$ 和 $Y_{2}$ 使得

${\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{2}^{T}&X_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1}&Y_{2}B_{2}\\Y_{2}^{T}&Y_{3}\end{bmatrix}}^{-1}$.

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。 https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/OF_Hinf.m

相关 LMI

最优输出反馈 H2

外部链接

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 的 LMI 控制课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的 LMI 可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - Guang-Ren Duan 和 Hai-Hua Yu 著，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013 年。