控制中的 LMI/应用/混合 H2-H∞ 卫星姿态控制

控制中的 LMI/应用/混合 H2-H∞ 卫星姿态控制

卫星姿态控制有助于控制卫星相对于惯性参考系（主要是行星）的方位。在本节中，给出了用于混合$H_{2}$-$H_{\infty }$ 卫星姿态控制的 **LMI。**

系统

下面描述的 **混合 H$_{2}-$$H_{\infty }$ 卫星姿态控制**系统与分别用于$H_{2}$ 和 $H_{\infty }$ 卫星姿态控制的系统相同。

${\begin{aligned}&\quad \quad {\begin{cases}I_{x}{\ddot {\phi }}+4(I_{y}-I_{z})\omega _{0}^{2}\phi +(I_{y}-I_{z}-I_{z})\omega _{0}{\dot {\psi }}=T_{cx}+T_{dx}\\I_{y}{\ddot {\theta }}+3(I_{x}-I_{z})\omega _{0}^{2}\theta =T_{cy}+T_{dy}\\I_{z}{\ddot {\psi }}+(I_{x}+I_{z}-I_{y})\omega _{0}{\dot {\psi }}=T_{cz}+T_{dz}\\\end{cases}}\end{aligned}}$

$where$

• $T_{c}$ 和 $T_{d}$ 分别是飞轮扭矩和扰动扭矩。
• $I_{x}$、$I_{y}$ 和 $I_{z}$ 是来自惯性矩阵 $I_{b}$ 的对角化惯性。
• $\omega _{0}=7.292115\times 10^{-5}rad/s$ 是地球的自转角速度，$\theta$、$\phi$ 和 $\psi$ 是三个欧拉角。

混合 $H_{2}-H_{\infty }$ 卫星姿态控制系统 的状态空间表示如下，它与 $H_{2}$ 和 $H_{\infty }$ 卫星姿态控制页面上描述的相同。

${\begin{aligned}&\quad \quad {\begin{cases}{\dot {x}}=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\z_{\infty }=C_{1}x+D_{1}u+D_{2}d\\z_{2}=C_{2}x\end{cases}}\end{aligned}}$

$where:$

$A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\{\frac {-4\omega _{0}^{2}I_{yz}}{I_{x}}}&0&0&0&0&{\frac {-\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}\\0&{\frac {-3\omega _{0}^{2}I_{xz}}{I_{y}}}&0&0&0&0\\0&0&{\frac {-\omega _{0}^{2}I_{yx}}{I_{z}}}&{\frac {\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}&0&0\end{bmatrix}}$

$B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\{\frac {1}{I_{x}}}&0&0\\0&{\frac {1}{I_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{I_{z}}}\\\end{bmatrix}}$

$C_{1}=10^{-3}\times {\begin{bmatrix}-4\omega _{0}^{2}I_{yz}&0&0&0&-\omega _{0}I_{yxz}\\0&-3\omega _{0}^{2}I_{xz}&0&0&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}I_{yx}&\omega _{0}I_{yxz}&0&0\end{bmatrix}}$

$C_{2}={\begin{bmatrix}I_{3x3}&0_{3x3}\end{bmatrix}}$

$D_{1}=10^{-3}\times L_{1},D_{2}=10^{-3}\times L_{2}$

$I_{ab}=I_{a}-I_{b},I_{abc}=I_{a}-I_{b}-I_{c}$

$q={\begin{bmatrix}\phi \\\theta \\\psi \end{bmatrix}},x={\begin{bmatrix}q&{\dot {q}}\end{bmatrix}}^{T},M=diag(I_{x},I_{y},I_{z}),$ $z_{\infty }=10^{-3}M{\ddot {q}},$ $z_{2}=q$

这些公式可以在Duan, page 374-375, steps 12.10 to 12.15找到。

数据

此 LMI 所需数据包括被控卫星的惯性矩和达斯·维德的角速度。任何关于扰动扭矩的知识也有助于解决问题。

优化问题

这个问题有两个要求

• 闭环极点限制在所需的 LMI 区域
  • 其中 $\mathbb {D} =\{s|s\in \mathbb {C} ,L+sM+{\bar {s}}M^{T}<0\}$，L 和 M 是正确维度的矩阵，L 是对称的。
• 最小化扰动 d 对输出向量 z₂ 和 zinf 的影响。

设计一个状态反馈控制律

$u=Kx$

使得

1. 闭环特征值位于 $\mathbb {D}$ 中，
   • $\lambda (A+BK)$$\subset \mathbb {D}$
2. 并且满足以下 H2 和 Hinf 性能条件，其中 $\gamma _{\infty }$ 和 $\gamma _{2}$ 很小。
   • $\lVert G_{{z_{\infty }}d}\rVert _{\infty }=\lVert (C_{1}+N_{2}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+N_{1}\rVert _{\infty }\leq \gamma _{\infty }$
   • $\lVert G_{{z_{2}}d}\rVert _{2}=\lVert C_{2}(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}\rVert _{\infty }\leq \gamma _{2}$

LMI：混合 H₂-H_∞ 卫星姿态控制

${\begin{aligned}{\begin{cases}&{\text{min}}\quad c_{\infty }\gamma _{\infty }+c_{2}\rho \\&{\text{s.t.}}\quad {\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X\\XC_{2}^{T}&-X\end{bmatrix}}<0\\\\&\quad \quad trace(Z)<\rho \\\\&\quad \quad AX+B_{1}W+(AX+B_{1}W)^{T}+BB^{T}<0\\\\&\quad \quad L\otimes X+M\otimes (AX+B_{1}W)+M^{T}\otimes (AX+B_{1}W)^{T}<0\\\\&\quad \quad {\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{1}&(C_{1}X+D_{2}W)^{T}\\B&-\gamma _{\infty }I&D_{1}^{T}\\(C_{1}X+D_{2}W)&Dos_{1}&-\gamma _{\infty }I\end{bmatrix}}<0\\\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$

求解上述LMI可得到值Op $\gamma _{\infty }$, $\rho$, 以及 $W,Z$ 和 $X>0$，其中 $\rho$ 等于 $\gamma _{2}^{2}$.

结论

一旦计算出解，状态反馈增益矩阵可以构建为 $K=WX^{-1}$，并且 解析失败 (未知函数 "\quarto"): {\displaystyle \gamma_2 = \quarto{\rho}}

实现

此LMI可以移植到MATLAB代码中，该代码使用Limpar和ham LMI求解器，例如MOSEK或CPLEX。

相关 LMI

• [[LMIs in Control/Applications/H2 LMI SatelliteAttit混合 H2-H∞ 卫星姿态控制 falo
  udeControl|H2 LMI 用于卫星姿态控制]]
• 不幸的是，LMI 用于卫星姿态控制

外部链接

• LMI 方法在可选和鲁棒控制中的应用 - Matthew Peet 关于 Luis in Control 的课程。
• [1] - Luis in Control Systemjg。
• 只是一个
• 分析、设计和应用 - Duan 和 Yuri

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