控制中的 LMI/应用/Hinf LMI 卫星姿态控制

这是一个 $H_{\infty }$ 用于卫星姿态控制的 LMI。卫星姿态控制对于允许轨道上的卫星完成其任务是必要的。糟糕的卫星姿态控制会导致糟糕的指向性能，这会导致成本增加、服务延迟以及卫星使用寿命缩短。

系统

从第一性原理推导出系统的完整过程在配套的 LMI 中完成，用于 $H_{2}$ 卫星姿态控制。指向该页面的链接在底部与参考文献一起给出。

连续时间

{\begin{aligned}I_{x}{\ddot {\phi }}+4(I_{y}-I_{z})\omega _{0}^{2}\phi +(I_{y}-I_{z}-I_{z})\omega _{0}{\dot {\psi }}&=T_{cx}+T_{dx}\\I_{y}{\ddot {\theta }}+3(I_{x}-I_{z})\omega _{0}^{2}\theta &=T_{cy}+T_{dy}\\I_{z}{\ddot {\psi }}+(I_{x}+I_{z}-I_{y})\omega _{0}{\dot {\psi }}&=T_{cz}+T_{dz}\\\end{aligned}}

上述模型是通过将卫星姿态运动学代入卫星姿态动力学推导出来的。以下是上述变量的定义

系统的状态空间表示可以通过以下步骤找到。令

{\begin{aligned}x&={\begin{bmatrix}q&{\dot {q}}\end{bmatrix}}^{T},&z_{\infty }=10^{-3}M{\ddot {q}},&z_{2}=q,\\\end{aligned}}

引入如下符号

{\begin{aligned}I_{\alpha \beta }&=I_{\alpha }-I_{\beta },&I_{\alpha \beta \gamma }=I_{\alpha }-I_{\beta }-I_{\gamma }\\\end{aligned}}

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 代表 ${x,y,z}$ 中的任意元素。则状态空间系统为

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+B_{1}u+B_{2}d\\z_{\infty }&=C_{1}x+D_{1}u+D_{2}d\\z_{2}&=C_{2}x\\\end{aligned}}

其中上述状态空间表示中的矩阵定义如下

{\begin{aligned}A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\{\frac {-4\omega _{0}^{2}I_{yz}}{I_{x}}}&0&0&0&0&{\frac {-\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}\\0&{\frac {-3\omega _{0}^{2}I_{xz}}{I_{y}}}&0&0&0&0\\0&0&{\frac {-\omega _{0}^{2}I_{yx}}{I_{z}}}&{\frac {\omega _{0}I_{yzx}}{I_{x}}}&0&0\end{bmatrix}}\\\\B_{1}=B_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\{\frac {1}{I_{x}}}&0&0\\0&{\frac {1}{I_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{I_{z}}}\\\end{bmatrix}}\\\\C_{1}=10^{-3}\times {\begin{bmatrix}-4\omega _{0}^{2}I_{yz}&0&0&0&-\omega _{0}I_{yxz}\\0&-3\omega _{0}^{2}I_{xz}&0&0&0&0\\0&0&-\omega _{0}^{2}I_{yx}&\omega _{0}I_{yxz}&0&0\end{bmatrix}}\\\\C_{2}={\begin{bmatrix}I_{3x3}&0_{3x3}\end{bmatrix}}\\\\D_{1}=10^{-3}\times L_{1},D_{2}=10^{-3}\times L_{2}\end{aligned}}

这个 LMI 所需的数据包括被控卫星的惯性矩和地球的角速度。任何有关扰动扭矩的知识也有助于解决这个问题。

我们的想法是为先前的卫星状态空间系统设计一个形式为以下形式的状态反馈控制律

u=Kx

该控制律的设计目的是使闭环系统稳定，并且从扰动到输出的传递函数矩阵

G_{z_{\infty }d}(s)=(C_{1}+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}

满足

||G_{z_{\infty }d}(s)||_{\infty }=(C_{1}+D_{1}K)(sI-(A+B_{1}K))^{-1}B_{2}+D_{2}

为了找到最小正标量 $\gamma _{\infty }$ ，它代表最小衰减水平。

这里的想法是尽可能地衰减扰动，同时仍然保持卫星跟踪的能力。此最小衰减水平是在下一节的LMI中找到的。

Duan 和 Yu 采用以下方法来处理 $H_{\infty }$ 卫星系统。可以通过解决以下 LMI 优化问题来找到从扰动到输出的最小衰减水平。

{\begin{aligned}\\&min\gamma _{\infty }\\\\&{\text{s.t. }}X>0\\\\&{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{1}X+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{H\infty }I&D_{2}^{T}\\C_{1}X+D_{1}W&D_{2}&-\gamma _{H\infty }I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

这与 Duan 和 Yu 的书中的定理 8.1 相同，是 $H_{\infty }$ 问题的解决方案。

Duan 和 Yu 的教科书将卫星惯性矩的典型值设为

{\begin{aligned}I_{x}=1030.17kg\cdot m^{2},I_{y}=3015.65kg\cdot m^{2},I_{Z}=3030.43kg\cdot m^{2}\\\end{aligned}}

然后，他们继续解决优化问题以找到一个控制器增益，该增益产生 0.0010 的衰减水平。虽然这个值非常小，代表非常好的衰减，但优化的控制器将闭环系统的极点推得非常靠近虚轴，导致缓慢的振荡行为，具有非常长的稳定时间。

为了解决这个问题，作者使用了第二种方法，该方法涉及修改上面表达式中的最终 LMI，并要求将其约束如下

{\begin{aligned}&-I<{\begin{bmatrix}(AX+B_{1}W)^{T}+AX+B_{1}W&B_{2}&(C_{1}X+D_{1}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{H\infty }I&D_{2}^{T}\\C_{1}X+D_{1}W&D_{2}&-\gamma _{H\infty }I\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

这些结果计划使用 YALMIP 在链接的代码实现中验证，而作者则利用 MATLAB LMI 工具箱来实现他们的结果。

指向 LMI 的 CodeOcean 或其他在线实现的链接

记录和验证 LMI 的参考资料列表。