控制中的 LMI / 有界实部引理

系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}

优化问题：给定一个状态空间系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}

其中 A 为稳定且 A $\in \mathbb {R} ^{n*n}$ , B $\in \mathbb {R} ^{n*p}$ ,C $\in \mathbb {R} ^{p*n}$ 和 D $\in \mathbb {R} ^{p*p}$ 以及 (A,B,C) 为最小，则存在 P=P^T $\in \mathbb {R} ^{n*n}$ 可用于使用下面提到的 LMI 解决有界实部引理问题。

LMI：有界实部引理

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+C^{T}C&&PB+C^{T}D\\B^{T}P+D^{T}C&&D^{T}D-I\end{bmatrix}}&<0\\P&>0\\\end{aligned}}

当且仅当状态空间是非膨胀的时，LMI 可行。 $\int _{0}^{T}y(t)^{T}y(t)dt$ < $\int _{0}^{T}u(t)^{T}u(t)dt$ 对于状态空间的所有解，其中 x(0) = 0，此条件也可以用传递矩阵 H 来表示。非膨胀性等效于传递矩阵 H 满足有界实部条件， $H(s)*H(s)<=I$ 对于所有 $Res>0$

结论

当且仅当哈密顿矩阵 M 没有虚数特征值时，LMI 可行。

实现

一个指向 CodeOcean 或其他 LMI 在线实现的链接（正在进行中）

参考文献

1. 斯蒂芬·博伊德、劳伦特·埃尔·加乌伊、埃里克·费隆和文卡塔拉曼·巴拉克斯里南的《系统与控制理论中的线性矩阵不等式》第 2.7.3 节
* 系统与控制理论中的 LMI