控制中的LMI/KYP引理/KYP引理（有界实引理）

KYP引理（有界实引理）

Kalman–Popov–Yakubovich (KYP) 引理是控制理论中广泛使用的引理。它有时也被称为有界实引理。KYP 引理可用于确定 $H_{\infty }$ 系统的范数，也适用于证明许多LMI结果。

系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ ， $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ ，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

矩阵 $A,B,C,D$ 是已知的。

必须解决以下优化问题。

{\begin{aligned}&{\underset {\gamma ,\;X}{\operatorname {minimize} }}\quad \gamma \\&\operatorname {subject\;to} &X>0\\&&{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

假设 ${\hat {G}}(s)(A,B,C,D)$ 是系统。那么以下等价。

1)\quad \left\|G\right\|_{H_{\infty }}\leq \gamma

2)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0

3)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB&C^{T}\\B^{T}X&-\gamma I&D^{T}\\C&D&-\gamma I\end{bmatrix}}<0

KYP 引理可用于找到系统 $H_{\infty }$ 范数的边界 $\gamma$ 。从 LMI 的 (1,1) 块中我们知道 $A$ 是 Hurwitz 矩阵。

CodeOcean 或其他在线实现 LMI 的链接（正在进行中）

文档化和验证 LMI 的参考文献列表。