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切比雪夫多项式

所需数据

一个希望获取SOSINEQ范围规格的单变量多项式

问题

设 $p_{n}(x)$ 是一个度数为 $n,with\gamma$ 的单变量多项式，其中 $\gamma$ 是 $x^{n}$ 的系数。

$\max _{\gamma }\gamma$，受以下约束
$|p_{n}(x)|\leq 1,\forall x\in [-1,1]$.

公式

绝对值约束可以使用两个不等式轻松地重写，即

${\begin{aligned}1+p_{n}(x)\geq 0\\1-p_{n}(x)\geq 0,\\\forall x\in [-1,1]\end{aligned}}$.

解决

最优解为 $\gamma ^{*}=2^{n-1}$，其中 $p_{n}^{*}(x)=arccos(cosnx)$ 是第一类 n 次切比雪夫多项式。

示例

SOStools 中的代码示例可能很有用！

参考资料

SOS 工具手册：https://sums-of-squares.github.io/sos/

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