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系统

我们将考虑以下反馈互连 $S(G,\Delta )$

${\begin{cases}v=Gu+f,\\u=\Delta (v)+r\end{cases}}$

其中 $r$ 和 $f$ 是外源输入。 $G$ 和 $\Delta$ 是两个因果算子。

问题

令 $\Pi :j\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ 是一个可测量的厄米特值函数，$G\in \mathbb {R} \mathbb {H} _{\infty }$ 且 $\Delta$ 是一个有界的因果算子。 $\exists \epsilon >0$ 使得

${\begin{bmatrix}G(j\omega )\\I\end{bmatrix}}^{*}\Pi (j\omega ){\begin{bmatrix}G(j\omega )\\I\end{bmatrix}}\leq -\epsilon I\qquad \forall \omega \in \mathbb {R}$

那么，$G$ 和 $\Delta$ 的反馈互连是稳定的。

数据

$G$ 是一个具有状态空间实现的线性时不变系统

${\begin{cases}{\dot {x}}=Ax+Bu\\y=Cx+Du\end{cases}}$

其中 $x$ 是状态。

任何 $\Pi \in \mathbb {R} \mathbb {H} _{\infty }$ 可以分解为 $\Pi =\Psi ^{*}M\Psi$，其中 $M=M^{T}$ 和 $\Psi \in \mathbb {R} \mathbb {H} _{\infty }$。将 $\Psi$ 的状态空间实现表示为 $(A_{\psi },[B_{\psi 1},B_{\psi 2}],C_{\psi },[D_{\psi 1},D_{\psi 2}])$.

系统 $\Psi {\begin{bmatrix}G\\I\end{bmatrix}}$ 的状态空间实现为 $({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}}):=\left({\begin{bmatrix}A&0\\B_{\psi 1}C&A_{\psi }\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B\\B_{\psi 2}+B_{\psi 1}D\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}D_{\psi 1}C&C_{\psi }\end{bmatrix}},D_{\psi 2}+D_{\psi 1}D\right)$

LMI

如果存在矩阵 $P=P^{T}$ 使得

${\begin{bmatrix}{\hat {A}}^{T}P+P{\hat {A}}&P{\hat {B}}\\{\hat {B}}^{T}P&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\hat {C}}^{T}\\{\hat {D}}^{T}\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}{\hat {C}}&{\hat {D}}\end{bmatrix}}<0$

那么反馈互连 $S(G,\Delta )$ 是稳定的。

参考文献

A. Megretski 和 A. Rantzer，“通过积分二次约束进行系统分析”，载于《IEEE 自动控制汇刊》，第 42 卷，第 6 期，第 819-830 页，1997 年 6 月，doi：10.1109/9.587335

P. Seiler，“使用耗散不等式和积分二次约束进行稳定性分析”，载于《IEEE 自动控制汇刊》，第 60 卷，第 6 期，第 1704-1709 页，2015 年 6 月，doi：10.1109/TAC.2014.2361004