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符号

与子空间相关的符号

$\mathbb {R}$	所有实数的集合
$\mathbb {R} ^{+}$	所有正实数的集合
$\mathbb {R} ^{-}$	所有负实数的集合
$\mathbb {C}$	所有复数的集合
$\mathbb {C} ^{+}$	右半复平面
$\mathbb {C} ^{-}$	左半复平面
$\mathbb {R} ^{n}$	所有维度为$n$的实向量的集合
$\mathbb {C} ^{n}$	所有维度为$n$$n$的复向量的集合
$\mathbb {R} ^{m\times n}$	所有维度为$m\times n$的实矩阵的集合
$\mathbb {C} ^{m\times n}$	所有维度为$m\times n$的复矩阵的集合
$\mathbb {R} _{r}^{m\times n}$	秩为$r$的$m\times n$实矩阵的集合
$\mathbb {C} _{r}^{m\times n}$	秩为$r$ 的$m\times n$ 复数矩阵的集合
${\bar {\mathbb {C} }}^{+}$	闭右半复平面，${\bar {\mathbb {C} }}^{+}=\{s|s\in \mathbb {C} ,Re(s)\leq 0\}$
ker$(T)$	变换或矩阵$T$ 的核
Image$(T)$	变换或矩阵$T$ 的像
conv$(\mathbb {F} )$	集合$\mathbb {F}$ 的凸包
$\mathbb {S} ^{n}$	在$\mathbb {R} ^{n\times n},\mathbb {S} ^{n}=\{M|M=M^{T},M\in \mathbb {R} ^{n\times n}\}$ 中的对称矩阵的集合
$\mathbb {F} _{B}$	集合$\mathbb {F}$ 的边界集
$\mathbb {F} _{E}$	集合$\mathbb {F}$ 的所有极点的集合

与向量和矩阵相关的符号

$0_{n}$	在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的零向量
$0_{m\times n}$	在 $\mathbb {R} ^{m\times n}$ 中的零矩阵
$I_{n}$	阶数为 $n$ 的单位矩阵
$A^{-1}$	矩阵 $A$ 的逆矩阵
$A^{T}$	矩阵 $A$ 的转置
${}^{-}A$	矩阵 $A$ 的复共轭
$A^{H}$	矩阵 $A$ 的转置复共轭
Re($A$)	矩阵 $A$ 的实部
Im($A$)	矩阵 $A$ 的虚部
det($A$)	矩阵 $A$ 的行列式
Adj$A$)	矩阵 $A$ 的伴随矩阵
trace($A$)	矩阵$A$的迹
秩($A$)	矩阵$A$的秩
$\kappa (A)$	矩阵$A$的条件数
$\rho (A)$	矩阵$A$的谱半径
$A>0$	$A$是埃尔米特（对称）正定矩阵
$A\geq 0$	$A$是埃尔米特（对称）半正定矩阵
$A>B$	$A-B>0$
$A\geq B$	$A-B\geq 0$
$A<0$	$A$是埃尔米特（对称）负定矩阵
$A\geq 0$	$A$是埃尔米特（对称）半负定矩阵
$A<B$	$A-B<0$
$A^{\frac {1}{2}}$	$A-B\leq 0$
$A^{\frac {1}{2}}$	矩阵 $Z$ 满足 $Z^{T}Z=A>0$
$\lambda (A)$	矩阵 $A$ 的所有特征值集合
$\lambda _{i}(A)$	矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值
$\lambda _{max}(A)$	矩阵 $A$ 的最大特征值
$\lambda _{min}(A)$	矩阵 $A$ 的最小特征值
$\sigma _{i}(A)$	矩阵 $A$ 的第 $i$ 个奇异值
$\sigma _{max}(A)$	矩阵 $A$ 的最大奇异值
$\sigma _{min}(A)$	矩阵 $A$ 的最小奇异值
$\langle A\rangle _{s}$	矩阵 $A$ 的和及其转置，$\langle A\rangle _{s}=A+A^{T}$
$\left\Vert A\right\|_{2}$	矩阵 $A$ 的谱范数
$\left\Vert A\right\|_{F}$	矩阵 $A$ 的弗罗贝尼乌斯范数
$\left\Vert A\right\|_{1}$	矩阵 $A$ 的行和范数
$\left\Vert A\right\|_{\infty }$	矩阵 $A$ 的列和范数

示例

考虑方阵 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$。 $A$ 的特征值为 $\lambda _{i}(A),i=1,2,...,n$。如果矩阵 A 的所有特征值都位于复平面的开左半平面（即 Re $\lambda _{i}(A),i=1,2,...,n$ <)，则该矩阵为 Hurwitz 矩阵。如果矩阵的所有特征值都严格位于以复平面原点为中心的单位圆内（即 $|\lambda _{i}(A)|<1,i=1,...,n)$，则该矩阵为 Schur 矩阵。如果 $A\in \mathbb {S} ^{n}$，则 A 的最小特征值表示为 $\lambda (A)$，最大特征值表示为 ${\bar {\lambda }}(A)$。

考虑矩阵 B $\in \mathbb {R} ^{n\times m}$。 B 的最小奇异值为 ${\underline {\sigma }}$ (B)，最大奇异值为 ${\bar {\sigma }}$(B)。B 的值域和零空间分别表示为 $\mathbb {R}$(B) 和 $\mathbb {N}$(B)。B 的 Frobenius 范数为 ||B|| = ${\sqrt {tr(B^{H}B)}}$。

连续时间线性时不变（LTI）系统的状态空间实现

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t),$.
在本文件中通常简称为 (A, B,C,D)。在连续时间状态空间实现中，通常省略时间参数，除非需要避免歧义。离散时间 LTI 系统的状态空间实现

$x_{k+1}=A_{d}x_{k}+B_{d}u_{k},$

$y_{k}=C_{d}x_{k}+D_{d}u_{k},$

通常可以简写为$(A_{d},B_{d},C_{d},D_{d})$.

LTI 系统${\mathcal {G}}$ 的 ${\mathcal {H}}$∞ 范数用 ||${\mathcal {G}}$||∞ 表示，而${\mathcal {G}}$ 的 ${\mathcal {H}}_{2}$ 范数用 ||${\mathcal {G}}$||$_{2}$ 表示。

连续时间信号的内积空间${\mathcal {L}}_{2}and{\mathcal {L}}_{2e}$ 定义如下。

$\{{\mathcal {L}}_{2}\}=\left\{x:\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2}^{2}=\int _{0}^{\infty }x^{T}(t)x(t)dt<\infty \right\},$

$\{{\mathcal {L}}_{2e}\}=\left\{x:\mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2T}^{2}=\int _{0}^{T}x^{T}(t)x(t)dt<\infty ,\forall T\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}.$

离散时间信号的内积序列空间 ℓ2 和 ℓ2e 定义如下。
$\{{\mathcal {l}}_{2}\}=\left\{x:\mathbb {Z} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }x_{k}^{T}x_{k}<\infty ,\right\}.$
$\{{\mathcal {l}}_{2e}\}=\left\{x:\mathbb {Z} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}|||x||_{2N}^{2}=\sum _{k=0}^{N}x_{k}^{T}x_{k}<\infty ,\forall N\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\right\}.$

参考文献

• 控制系统中的LMI：分析、设计和应用 - 作者：段广仁和于海华，CRC出版社，泰勒与弗朗西斯集团，2013年
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - 由Ryan Caverly和James Forbes编写的LMI清单。
• 系统和控制理论中的LMI - 由Stephen Boyd编写的关于LMI的可下载书籍。