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全阶状态观测器

构造一个简单的全阶状态观测器的問題直接来自于 Hurwitz 可检测性 LMI 的结果，它本质上是 Hurwitz 可稳定性的对偶。如果 Hurwitz 可检测性的第一个 LMI 存在可行解，那么我们可以利用这些结果反推出一个全状态观测器 $L$ 使 $A+LC$ 为 Hurwitz 稳定。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\\\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

• 矩阵 $A,B,C,D$ 是适当维度的系统矩阵，已知。

优化问题

全阶状态观测器问题的本质是找到一个正定的 $P$ 使以下 LMI 结论成立。

LMI

1）当且仅当存在一个对称正定矩阵 $P$ 和一个矩阵 $W$ 满足

• $A^{T}P+PA+W^{T}C+C^{T}W<0.$

那么观测器可以得到为 $L=P^{-1}W$
2) 全状态状态观测器存在的充分必要条件是存在对称正定矩阵 $P$ 满足以下矩阵不等式

• $A^{T}P+PA-C^{T}C<0$
  

在这种情况下，观测器可以重建为 $L=-{\frac {1}{2}}P^{-1}C^{T}$。可以看出，第二个关系可以通过将 $W=-{\frac {1}{2}}C^{T}$ 代入第一个条件直接得到。

结论

因此，上述两个 LMI 都导致了一个全阶观测器 $L$，使得 $A+LC$ 是 Hurwitz 稳定的。

外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• 控制系统分析、设计和应用中的 LMI - Duan 和 Yu
• 最优与鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• LMI 在系统、稳定性和控制理论中的性质和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。