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降阶状态观测器

降阶状态观测器设计范式自然地源于全阶状态观测器设计。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\\\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$, $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

• 矩阵 $A,B,C,D$ 是适当维度的系统矩阵，已知。

问题陈述

给定一个如上所述的系统的状态空间表示。首先，选择一个任意矩阵 $R\in \mathbb {R} ^{(n-m)xn}$，使得如下给出的垂直增广矩阵

${\begin{aligned}T={\begin{bmatrix}C\\R\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

是非奇异的，那么

${\begin{aligned}CT^{-1}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

此外，令

${\begin{aligned}TAT^{-1}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\\end{bmatrix}},A_{11}\in \mathbb {R} ^{mxm}\end{aligned}}$

那么矩阵对$(A_{22},A_{12})$ 可检测当且仅当 $(A,C)$ 可检测，然后令

${\begin{aligned}Tx={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{bmatrix}},TB={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

那么可以得到如下形式的新系统

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\end{bmatrix}}u,y=x_{1}\end{aligned}}$

一旦得到$x_{2}$ 的估计，则可以得到完整的状态估计

${\begin{aligned}{\hat {x}}=T^{-1}{\begin{bmatrix}y\\{\hat {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

则可以得到如下形式的降阶观测器。

${\begin{aligned}{\dot {z}}&=Fz+Gy+Hu,\\{\hat {x}}_{2}&=Mz+Ny\\\end{aligned}}$

使得对于任意控制和任意初始系统值，都有

${\begin{aligned}lim_{t\to \infty }(x_{2}-{\hat {x}}_{2})=0\end{aligned}}$

$F,G,H,M,N$ 的值可以通过求解以下 LMI 获得。

LMI

降阶观测器存在当且仅当以下两个条件之一成立。

1) 存在一个对称正定矩阵 $P$ 和一个矩阵 $W$ 满足以下条件：

• $A_{22}^{T}P+PA_{22}+W_{12}^{A}+A_{12}^{T}W<0.$

则 $L=P^{-1}W$
2) 存在一个对称正定矩阵 $P$ 满足以下矩阵不等式：

• $A_{22}^{T}P+PA_{22}-A_{12}^{T}A_{12}<0$
  

则 $L=-{\frac {1}{2}}P^{-1}A_{12}^{T}$.

利用该 $L$ 的值，我们可以重构观察器状态矩阵为：

${\begin{aligned}F=A_{22}+LA{12},G=(A_{21}+LA_{11})-(A_{22}+LA_{12})L,H=B_{2}+LB_{1},M=I,N=-L,\end{aligned}}$

结论

因此，我们可以使用一个降阶观测器来根据上述问题公式中给出的方程恢复完整状态信息。

外部链接

以下是一些记录和验证 LMI 的参考文献：

• 控制系统分析、设计与应用中的 LMI - Duan 和 Yu
• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 编著的关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编著的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编著的关于 LMI 的可下载书籍。