控制中的 LMI / KYP 引理 / 正实引理

正实引理

正实引理是 Kalman-Popov-Yakubovich (KYP) 引理的一种变体。正实引理可用于确定系统是否为被动（正实）。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$, $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$, 在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

矩阵 $A,B,C,D$ 是已知的。

LMI：正实引理

假设 ${\hat {G}}(s)(A,B,C,D)$ 是系统。那么以下等价。

$1)\quad G\;{\text{is passive, i.e.}}\;\left\langle u,Gu\right\rangle _{L_{2}}\geq 0\;({\hat {G}}(s)+{\hat {G}}(s)^{*}\geq 0)$

$2)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}$

${\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB-C^{T}\\B^{T}X-C&-D^{T}-D\end{bmatrix}}\leq 0$

结论

正实引理可以用于确定系统 $G$ 是否是无源的。从 LMI 的 (1,1) 块可以看出 $A$ 是 Hurwitz 矩阵。

实现

CodeOcean 或其他在线实现 LMI 的链接（正在进行中）

相关 LMI

KYP 引理（有界实引理）

外部链接

列出记录和验证 LMI 的参考文献。

• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - 马修·皮特的控制中的 LMI 课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - 瑞安·卡弗利和詹姆斯·福布斯的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - 史蒂芬·博伊德关于 LMI 的可下载书籍。