控制中的 LMI / 离散时间 / 离散时间 TDS 的稳定性条件

本页介绍了一个用于分析具有时变延迟的离散时间系统的 LMI。特别是，提供了一个依赖延迟的条件，通过 LMI 的可行性来测试离散时滞系统的渐近稳定性。所考虑的系统涉及单个离散延迟，延迟的大小在任何时间都受某个已知值的限制。针对此限制的不同值求解 LMI，可以获得系统保持渐近稳定的延迟限制。

系统

所考虑的系统是以下形式的系统

{\begin{aligned}x(k+1)&=Ax(k)+A_{1}x(k-\tau _{k})&k&\in \mathbb {Z} _{+},&\tau _{k}&\in \mathbb {N} ,&0&\leq \tau _{k}\leq h\end{aligned}}

在此描述中， $A$ 和 $A_{1}$ 是 $\mathbb {R} ^{n\times n}$ 中的矩阵。变量 $\tau _{k}$ 表示离散时间 $k$ 时的状态延迟，假设其值不超过某个 $h\in \mathbb {Z} _{+}$ 。

为了确定系统的稳定性，必须知道以下参数

${\begin{aligned}A&\in \mathbb {R} ^{n\times n}\\A_{1}&\in \mathbb {R} ^{n\times n}\\h&\in \mathbb {Z} _{+}\end{aligned}}$

根据提供的数据，可以通過測試以下 LMI 的可行性來確定漸近穩定性。

{\begin{aligned}&{\text{Find}}:\\&\qquad P,S,R,S_{12},P_{2},P_{3}\in \mathbb {R} ^{n\times n}\\&{\text{such that:}}\\&\qquad P>0,\quad S>0,\quad R>0,\\&\qquad {\begin{bmatrix}\Phi _{11}&\Phi _{12}&S_{12}&R-S_{12}+P_{2}^{T}A_{1}\\*&\Phi _{22}&0&P_{3}^{T}A_{1}\\*&*&-(S+R)&R-S_{12}^{T}\\*&*&*&-2R+S_{12}+S_{12}^{T}\end{bmatrix}}<0\\&{\text{where:}}\\&\qquad \Phi _{11}=(A^{T}-I)P_{2}+P_{2}^{T}(A-I)+S-R\\&\qquad \Phi _{12}=P-P_{2}^{T}+(A^{T}-I)P_{3}\\&\qquad \Phi _{22}=-P_{3}-P_{3}^{T}+P+h^{2}R\end{aligned}}

在该符号中， $*$ 用于表示合适的矩阵以确保整个矩阵是对称的。

如果给出的 LMI 可行，则系统在区间 $[0,h]$ 内的任何延迟序列 $\tau _{k}$ 都会渐近稳定。也就是说，无论延迟值 $\tau _{k}\in [0,h]$ 在任何时间如何变化。

\|x(0)\|<\delta \quad \Rightarrow \quad \|x(k)\|<\epsilon \qquad \forall k\in \mathbb {N}

通过获得 LMI 的可行点，可以使用 Lyapunov-Krasovkii 函数来证明该结果。

{\begin{aligned}&V(x_{k})=V_{P}(k)+V_{S}(k)+V_{R}(k)\\\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}&V_{P}(k)=x^{T}(k)Px(k),\\&V_{S}(k)=\sum _{j=k-h}^{k-1}x^{T}(j)Sx(j),\\&V_{R}(k)=h\sum _{m=-h}^{-1}\sum _{j=k+m}^{k-1}[x(j+1)-x(j)]^{T}R[x(j+1)-x(j)]\\\end{aligned}}

以下网站提供了此 LMI 在 Matlab 中实现的示例

注意，此实现需要 YALMIP 包和 mosek 求解器，但也可以实现其他求解器。

所呈现的结果来自

有关控制理论中 LMI 的更多信息，可以从以下资源获得