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圆锥扇区引理

对于一般的输入-输出系统，扇区条件被用来验证或强制反馈稳定性。这些扇区条件之一是圆锥扇区引理，而设计反馈控制器的难题则是圆锥扇区定理。

系统

考虑一个方阵，连续时间线性时不变（LTI）系统，${\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}_{2e}\rightarrow {\mathcal {L}}_{2e}$，其最小状态空间实现为$(A,B,C,D)$，其中$A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},C\in \mathbb {R} ^{m\times n},$ 以及 $D\in {\mathcal {R}}^{m\times m}$。状态空间表示为

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\end{aligned}}$

其中$x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 以及 $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 分别是系统的状态、输出和输入向量。

数据

需要系统系数矩阵 $(A,B,C,D)$。 此外，可以可选地提供定义锥体的参数，可以是 $[a,b]$ 的形式，其中 $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$，或者提供半径 $r\in \mathbb {R} _{+}$ 和中心 $c\in \mathbb {R}$。

可行性 LMI

如果系统 ${\mathcal {G}}$ 在给定的锥体 $[a,b]$ 内，则以下条件是可行的

${\begin{aligned}{\text{Find: }}&P\\{\text{subj. to: }}&P>0\\&{\begin{bmatrix}PA+A^{\top }P+C^{\top }C&PB-{\frac {a+b}{2}}C^{\top }+C^{\top }D\\(PB-{\frac {a+b}{2}}C^{\top }+C^{\top }D)^{\top }&D^{\top }D-{\frac {a+b}{2}}(D+D^{\top })+abI\end{bmatrix}}\leq 0.\end{aligned}}$

上述 LMI 也可以用来确定锥体参数，方法是将 $a$ 设置为变量，同时满足条件 $a<b$，并使用二分法来找到 $b$。

如果给定的锥体由中心 $c$ 和半径 $r$ 表示，那么可以通过评估以下可行性问题来检查 ${\mathcal {G}}$ 是否在给定的锥体中

${\begin{aligned}{\text{Find: }}&P\\{\text{subj. to: }}&P>0\\&{\begin{bmatrix}PA+A^{\top }P+C^{\top }C&PB-cC^{\top }+C^{\top }D\\(PB-cC^{\top }+C^{\top }D)^{\top }&D^{\top }D-c(D+D^{\top })+(c^{2}-r^{2})I\end{bmatrix}}\leq 0.\end{aligned}}$

为了找到锥体参数，将 $\gamma =r^{2}$ 作为决策变量，并添加约束条件 $\gamma \geq 0$，然后通过二分法求解 $c$，可以得到包含系统 ${\mathcal {G}}$ 的锥体，如果问题是可行的。

结论

上述 LMI 可以用来判断 ${\mathcal {G}}$ 是否在指定的锥体中，或者可以用来通过寻找一个包含 ${\mathcal {G}}$ 的可行锥体来判断 ${\mathcal {G}}$ 的稳定性。需要注意的是，锥体扇区引理是 KYP 引理 的特例，适用于 QSR 耗散系统，其中

$Q=-1,S=frac{a+b}{2}I=cI,R=-abI=(r^{2}-c^{2})I$.

实现

为了解决可行性 LMI，需要 YALMIP 工具箱来设置可行性问题，还需要 SeDuMi 来解决问题。以下链接展示了一个可行性问题示例：

https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/Conic_sector_example.m

相关 LMI

外部锥体扇区引理.

KYP 引理

外部链接

列出记录和验证 LMI 的参考文献。

• LMI 在系统、稳定性和控制理论中的性质和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。