圆锥扇区引理
对于一般的输入-输出系统,扇区条件被用来验证或强制反馈稳定性。这些扇区条件之一是圆锥扇区引理,而设计反馈控制器的难题则是圆锥扇区定理。
考虑一个方阵,连续时间线性时不变(LTI)系统,
,其最小状态空间实现为
,其中
以及
。状态空间表示为

其中
,
以及
分别是系统的状态、输出和输入向量。
需要系统系数矩阵
。 此外,可以可选地提供定义锥体的参数,可以是
的形式,其中
,或者提供半径
和中心
。
如果系统
在给定的锥体
内,则以下条件是可行的

上述 LMI 也可以用来确定锥体参数,方法是将
设置为变量,同时满足条件
,并使用二分法来找到
。
如果给定的锥体由中心
和半径
表示,那么可以通过评估以下可行性问题来检查
是否在给定的锥体中

为了找到锥体参数,将
作为决策变量,并添加约束条件
,然后通过二分法求解
,可以得到包含系统
的锥体,如果问题是可行的。
上述 LMI 可以用来判断
是否在指定的锥体中,或者可以用来通过寻找一个包含
的可行锥体来判断
的稳定性。需要注意的是,锥体扇区引理是 KYP 引理 的特例,适用于 QSR 耗散系统,其中
.
为了解决可行性 LMI,需要 YALMIP 工具箱来设置可行性问题,还需要 SeDuMi 来解决问题。以下链接展示了一个可行性问题示例:
https://github.com/smhassaan/LMI-Examples/blob/master/Conic_sector_example.m
外部锥体扇区引理.
KYP 引理
列出记录和验证 LMI 的参考文献。