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KYP 引理（有界实引理）

卡尔曼-波波夫-雅库波维奇 (KYP) 引理是控制理论中广泛使用的引理。它有时也被称为有界实引理。KYP 引理可用于确定 $H_{\infty }$ 系统的范数，也对证明许多 LMI 结果很有用。

系统

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)&=Cx(t)+Du(t)\\x(0)&=x_{0}\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ ， $u(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ ，在任何 $t\in \mathbb {R}$ 。

矩阵 $A,B,C,D$ 是已知的。

必须解决以下优化问题。

{\begin{aligned}&{\underset {\gamma ,\;X}{\operatorname {minimize} }}\quad \gamma \\&\operatorname {subject\;to} &X>0\\&&{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0\\\end{aligned}}

假设 ${\hat {G}}(s)(A,B,C,D)$ 是该系统。那么以下等价。

1)\quad \left\|G\right\|_{H_{\infty }}\leq \gamma

2)\quad {\text{There exists a}}\;X>0\;{\text{such that}}

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB\\B^{T}X&-\gamma I\end{bmatrix}}+{\frac {1}{\gamma }}{\begin{bmatrix}C^{T}\\D^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}C&D\end{bmatrix}}<0

KYP 引理可用于找到 $\gamma$ 对系统的 $H_{\infty }$ 范数的界限。从 LMI 的 (1,1) 块可以看出 $A$ 是 Hurwitz。

由于上面显示的 KYP 引理在 gamma 中是非线性的，为了在 MATLAB 中实现它，我们必须首先使用 Schur 补线性化它，以得到下面的对偶公式。

{\begin{bmatrix}A^{T}X+XA&XB&C^{T}\\B^{T}X&-\gamma I&D^{T}\\C&D&-\gamma I\end{bmatrix}}<0

.

此对偶 KYP LMI 现在在线性 $X$ 和 $\gamma$ 方面都是线性的。

此实现需要使用 Yalmip 和 Sedumi。

记录和验证 LMI 的参考资料列表。