控制中的LMI/页面/H-无穷范数的推导LMI条件

H-无穷范数推导LMI

尽管KYP引理，也称为有界实引理，是评估H_∞上限的基本条件，但可以通过推导出的条件来验证系统H_∞增益的上限。

系统

如下所示给出了线性系统的状态空间表示

{\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bw(t)\\y(t)&=Cx(t)+Dw(t)\end{aligned}}

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ 和 $w(t)\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别为系统状态、输出和扰动向量。此类系统的传递函数可以评估为

{\begin{aligned}G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D\end{aligned}}

需要知道状态数n、输出数m和外部噪声通道数r。此外，还需要知道系统矩阵A、B、C、D。

对于任意 $\gamma$ ，传递函数G(s)满足

\left\|G(s)\right\|_{\infty }<\gamma

当且仅当存在一个对称矩阵X > 0和一个矩阵 $\Omega .$ 使得

{\begin{aligned}{\text{Find}}\;X,\Omega :&\\\Theta +\Phi ^{\top }\Omega \Psi +\Psi ^{\top }\Omega ^{\top }\Phi <0\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}\Theta &={\begin{bmatrix}0&X&0&0&0\\X&-X&0&0&0\\0&0&-\gamma I_{m}&0&0\\0&0&0&-X&0\\0&0&0&0&\gamma I_{r}\end{bmatrix}}\\\Phi &={\begin{bmatrix}-I_{n}&A^{\top }&C^{\top }&I_{n}&0\\0&B^{\top }&D^{\top }&0&-\gamma I_{r}\end{bmatrix}}\\\Psi &={\begin{bmatrix}I_{n}&0&0&0&0\\0&0&0&0&I_{r}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

上述LMI可以与二分法结合，找到最小的 $\gamma$ ，从而找到 $G(s)$ 的H_∞增益的最小上界。

如果上述LMI存在可行解，那么 $\gamma$ 对系统G(s)的无穷范数进行上界估计。

为了解决可行性LMI问题，需要使用YALMIP工具箱来建立可行性问题，并使用SeDuMi来求解问题。以下链接展示了一个可行性问题的示例

记录和验证LMI的一系列参考文献。