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时滞系统的稳定性 - 依赖于延迟的情况

假设，例如，有一个系统引入了时滞。在这种情况下，稳定必须以不同的方式进行。以下示例演示了如何在依赖于延迟的情况下稳定此类系统。

系统

对于这个问题，假设我们获得了以下形式的时滞系统：

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}(t-d)+Bu(t),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0

其中

{\begin{aligned}&A{\text{, }}{A_{d}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}{\text{, }}{B}\in \mathbb {R} ^{n\times r}{\text{ are the system coefficient matrices,}}\\&\phi (t){\text{ is the initial condition,}}\\&d{\text{ represents the time-delay, and}}\\&{\bar {d}}{\text{ is a known upper-bound of }}d\\\end{aligned}}

然后，可以按照下面描述的步骤，获得用于确定依赖于延迟的时滞系统的 LMI。

为了获得 LMI，我们需要以下三个矩阵： $A{\text{, }}{A_{d}}{\text{, and }}B$ .

假设 - 对于上面给定的时滞系统 - 我们被要求设计一个无记忆反馈控制律，其中 $u(t)=Kx(t)$ 使得闭环系统

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=(A+BK)x(t)+A_{d}(t-d),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

同时具有均匀稳定性和渐进稳定性，则系统可以按以下方式稳定。

从给定的信息可以看出，只有当存在一个标量 $0<\beta <1$ ，一个对称矩阵 $X>0$ 和一个矩阵 $W$ ，才能满足以下条件：

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\Phi (X,W)&&{\bar {d}}(X{A^{T}}+{W^{T}}{B^{T}})&&{\bar {d}}X{A_{d}^{T}}\\{\bar {d}}(AX+BW)&&-{\bar {d}}{\beta }I&&0\\{\bar {d}}{A_{d}}X&&0&&-{\bar {d}}(1-\beta )I\end{bmatrix}}&<0\\\end{aligned}}

其中 $\Phi (X,W)=X{(A+{A_{d}})^{T}}+(A+{A_{d}})X+BW+{W^{T}}{B^{T}}+{\bar {d}}{A_{d}}{A_{d}^{T}}$

给定所得到的稳定控制增益矩阵 $K=WX^{-1}$ ，可以观察到该矩阵是从推导出该增益矩阵的时滞系统中渐进稳定的。

示例代码 - 一个GitHub链接，包含代码（名为“DelayDependentTimeDelay.m”），演示了如何使用MATLAB-YALMIP来实现该LMI。

一个记录和验证 LMI 的参考文献列表。