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时滞系统的镇定 - 延迟无关情况

例如，假设存在一个引入时滞的系统。在这种情况下，必须以不同的方式进行镇定。以下示例演示了如何独立于延迟稳定此类系统。

系统

对于这个问题，假设我们得到以下形式的时滞系统：

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+A_{d}(t-d)+Bu(t),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

其中

{\begin{aligned}&A\,A_{d}\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{nxr}{\text{ 是系统系数矩阵，}}\\&\phi (t){\text{ 是初始条件，}}\\&d{\text{ 表示时滞，以及}}\\&{\bar {d}}{\text{ 是 }}d{\text{ 的已知上界}}\\\end{aligned}}

然后，将根据下面所述获得用于确定延迟无关情况下的时滞系统的LMI。

为了获得LMI，我们需要以下3个矩阵： $A,A_{d},$ 和 $B$ 。

假设 - 对于上面给定的时滞系统 - 我们被要求设计一个无记忆状态反馈控制律，其中 $u=Kx$ 使得闭环系统

{\begin{aligned}{\begin{cases}{\dot {x}}(t)&=(A+BK)x(t)+A_{d}(t-d),\\x(t)&=\phi (t),t\in [0,d],0<d\leq {\bar {d}},\\\end{cases}}\end{aligned}}

同时是均匀的和渐近稳定的，则系统将按如下方式稳定。

根据给定的信息，优化问题只有在存在矩阵 $W\in \mathbb {R} ^{r\times n}$ 和两个对称矩阵 $X>0$ 和 $Y>0$ 满足以下条件时才存在。

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X{A^{T}}+AX+BW+{W^{T}}{B^{T}}+Y&&{A_{d}}X\\X{A_{d}}^{T}&&-Y\end{bmatrix}}&<0\\\end{aligned}}

给定得到的反馈增益矩阵 $K=WX^{-1}$ ，可以观察到该矩阵是渐近稳定的，同时确保该解与导出该增益矩阵的时滞系统中的时滞无关。

示例代码 - 一个GitHub链接，其中包含代码（名为“DelayIndependentTimeDelay.m”），演示了如何使用MATLAB-YALMIP实现此LMI。

记录和验证LMI的一系列参考文献。