控制中的 LMI/页面/离散时间 H2 最优观测器

控制中的 LMI/页面/离散时间 H2 最优观测器

在许多应用中，甚至可能是大多数应用中，系统的状态无法直接知道。在这种情况下，您需要策略性地测量关键的系统输出，以使系统状态间接可观察。为了使估计值准确，观测器需要比系统动力学收敛得快得多。因此，最优观测器合成是有利的。在这个 LMI 中，我们试图优化 H2 范数，从概念上讲，它是在最小化观测器的平均误差幅度。

系统

${\begin{aligned}x_{k+1}&=A_{d}x_{k}+B_{d1}w_{k},\\y_{k}&=C_{c2}x_{k}+D_{d21}w_{k}\\\end{aligned}}$

其中 $x\in R^{n}$ 是状态向量，$A\in R^{n\times n}$ 是状态矩阵，$B\in R^{n\times r}$ 是输入矩阵，$w\in R^{r}$ 是外生输入，$C\in R^{m\times n}$ 是输出矩阵，$D\in R^{m\times r}$ 是直通矩阵，$y\in R^{m}$ 是输出，并且假定 $(A_{d},C_{d2})$ 是可检测的。

数据

矩阵 $A_{d},B_{d1},C_{cd2},C_{cd1},D_{d21}$.

优化问题

形式为

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

需要设计，其中 $L_{d}\in R^{n_{x}\times n_{y}}$ 是观测器增益。

定义误差状态 $e_{k}=x_{k}-{\hat {x}}_{k}$，误差动力学被发现为

$e_{k+1}=(A_{d}-L_{d}C_{d2}e_{k}+(B_{d1}-L_{d}D_{d21})w_{k}$,

性能输出定义为

$z_{k}=C_{d1}e_{k}$.

观测器增益 $L_{d}$ 需要设计，使得从 $w_{k}$ 到 $z_{k}$ 的传递矩阵的 $H_{2}$，由以下给出

$L_{d}{\begin{aligned}T(z)&=C_{d1}(z1-(A_{d}-L_{d}C_{d2}))^{-1}(B_{d1}-L_{d}D_{d21}),\\\end{aligned}}$

被最小化。

LMI： 离散时间 H2 最优观测器

离散时间 $H_{2}$- 最优观测器增益是通过求解 $P\in S^{n_{x}}$， $Z\in S^{n_{z}}$， $G_{d}\in R^{n_{x}\times n_{y}}$ 和 $v\in R_{>0}$ 来最小化 $J(v)=v$， 受以下约束： $P>0,Z>0$。

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}P&PA_{d}-G_{d}C_{d2}&PB_{d1}-G_{d}D_{d21}\\*&P&0\\*&*&1\end{bmatrix}}&>0,\\{\begin{bmatrix}Z&PC_{d1}\\*&P\end{bmatrix}}&>0,\\\operatorname {tr} Z<v\end{aligned}}$

其中 $\operatorname {tr}$ 指的是矩阵的迹。

结论

通过 $L_{d}=P^{-1}G_{d}$ 可以得到 $H_{2}$- 最优观测器增益。 $T(z)$ 的 $H_{2}$ 范数为 $\mu ={\sqrt {v}}$。 $L_{d}$ 矩阵是用于构建最佳观测器的观测器增益。

${\begin{aligned}{\hat {x}}_{k+1}&=A_{d}{\hat {x}}_{k}+L_{d}(y_{k}-{\hat {y}}_{k}),\\{\hat {y}}_{k}&=C_{d2}{\hat {x}}_{k}\\\end{aligned}}$

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/Discrete_Time_H2_Optimal_Observer_LMIs_Wikibook_Example.m

相关 LMI

混合 H2-Hinfinity 离散时间观测器

Discrete-Time_Hinfinity-Optimal_Observer

外部链接

这个LMI来自Ryan Caverly关于LMI的书籍（第5.1.2节）

• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - 由 Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。

其他资源

• 控制中的 LMI 方法 - 由 Matthew Peet 主讲的关于 LMI 的课程。
• 系统与控制理论中的 LMI - 由 Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。